Fonction, limites

[Anonyme]

Bonjour ! Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour cet exercice svp ? Je n'y arrive vraiment pas. Merci d'avance...


Dans un repère orthonormal (O;vecteur i, vecteur j), on note A et B les points de coordonnées respectives (-3 ; 4) et (2 ; 1).
On note M le point de coordonnées (x ; 0). Lorsque celà est possible, on associe à M le point M' défini de la façon suivante :
_ la droite (AM) coupe (O; vecteur j) en m
_ la droite (Bm) coupe (O ;vecteur i) en M'.
On note f(x) l'absscisse de M'.


1°) Sans calculs, conjecturez la limite de f en + l'infini.

2°) a) Prouvez que f(x) = [8x / (3x-3)] , pour tout x différent de 1 et de -3.
b) Déduisez-en la limite de f en + l'infini.

3°) Etudiez la limite de f en -l'infini. Interpretez graphiquement le résultat obtenu.

4°) Lorsque x = -3 la droite (AM) est parallele à (O; vecteur j) et le point m est "à l'infini". On peut donc considérer (Bm) parallele à (O;j) et M' en (2 ; 0).
On définit alors la fonction g par g(x) = f(x) si x est différent de 1 et de -3 et g(-3) = 2.
Prouvez que g est continue en -3.

[Anonyme]

1) On commence par faire un dessin et essayer de voir ce qui se passe quand M s'éloigne de l'origine : la droite (AM) devient de plus en plus horizontale, et le point m se rapproche de plus en plus du point (0,4). Quand x tend vers l'infini, le point m tend vers (0,4), et on cherche l'intersection de la droite passant par (0,4) et B avec l'axe des abscisses : c'est la limite de f(x) en l'infini.

2) On fait les calculs à x fixé pour trouver f, en calculant l'équation de la doite (AM) pour trouver l'ordonnée de m, puis l'équation de (Bm) pour trouver f(x).
Attention à ne pas mélanger x = abscisse de M (fixée pour faire les calculs) et le x de y=ax + b qu'on met d'habitude dans les équations de droite.
Les cas où f n'est pas définie correspondent aux cas où :
-(AM) est parallèle à l'axe des ordonnées,
-(Bm) est parallèle à l'axe des abscisses.