bonjour, j'aimerais une petite indication explicite car je fais un exercice que je trouve très intéressant. Merci d'avance
Soit la fonction g(x) = x+1+ V(x²+4x) V correspond à la racine carré
1) Calculer sa limite en - 00 et en + 00
2) Démontrer que l'équation y = 2x+3 est une asymptote oblique en + 00
Je reste bloqué sur ces deux questions, merci de vos indications :cry:
Bertrand
Fonction intéressante
8 messages
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par Galt » 21 Nov 2005, 20:54
La limite en 
n'est pas indéterminée, elle vaut
En
, il y a un problème, qu'on résout, comme d'habitude avec des racines carrées, en multipliant et divisant par la quantité conjuguée
=\frac {(x+1+\sqrt{x^2+4x})(x+1-\sqrt{x^2+4x})}{x+1-\sqrt{x^2+4x}}=\frac{(x+1)^2-(x^2+4x)}{x+1-\sqrt{x^2+4x}}=\frac{1-2x}{x+1-\sqrt{x^2+4x}})
On a maintanant une forme indéterminée
, on factorise x en haut et en bas. Attention, on factorise 
à l'intérieur de la racine carrée, et qund on le sort de la racine, ça donne 
puisque x tend vers - l'infini (et est donc négatif)
On obtient=\frac{x(-2+\frac 1 x)}{x(1+\frac 1 x +\sqrt{1+\frac 4 x})})
et la limite est donc -1
En
On a maintanant une forme indéterminée
On obtient
par Chimerade » 21 Nov 2005, 20:58
Pour lever les indéterminations de ce genre, il faut souvent multiplier et diviser par la quantité conjuguée.
=x+1+\sqrt{x^2+4x})
=\frac{(x+1+\sqrt{x^2+4x})\times (x+1-\sqrt{x^2+4x})}{(x+1-\sqrt{x^2+4x})})
=\frac{(x+1)^2-(x^2+4x)}{(x+1-\sqrt{x^2+4x})})
=\frac{(x^2+2x+1)-(x^2+4x)}{(x+1-\sqrt{x^2+4x})})
=\frac{-2x+1}{(x+1-\sqrt{(-x)^2+4x}})
=\frac{-2x+1}{(x+1-\sqrt{(-x)^2\times(1+\frac{4}{x}})})
=\frac{-2x+1}{(x+1-(-x)\times \sqrt{1+\frac{4}{x}}})
La racine au dénominateur tend vers 1, donc ce terme est équivalent à x et le dénominateur à 2x. Le numérateur étant équivalent à -2x, g(x) tend vers -1.
Quand x tend vers + l'infini, g(x)/x tend vers 2. On peut donc envisager le cas où g(x) aurait une asymtote du type y=2x+k. Pour s'en assurer il faut chercher si g(x)-2x a une limite :
-2x=-x+1+\sqrt{x^2+4x})
-2x=-x+1+x\sqrt{1+\frac{4}{x}})
Ici aussi on multiplie et divise par la quantité conjuguée :
-2x=\frac{[(-x+1)+x\sqrt{1+\frac{4}{x}}]\times[(-x+1)-x\sqrt{1+\frac{4}{x}}]}{[(-x+1)-x\sqrt{1+\frac{4}{x}}]})
-2x=\frac{[(-x+1)^2-x^2(1+\frac{4}{x})]}{[(-x+1)-x\sqrt{1+\frac{4}{x}}]})
-2x=\frac{x^2-2x+1-x^2-4x}{[(-x+1)-x\sqrt{1+\frac{4}{x}}]})
Le numérateur est équivalent à -6x et le dénominateur à -2x. La fraction est équivalente à 3. Donc g(x)-2x tend vers 3. Il y a une asymptote d'équation y=2x+3 !
La racine au dénominateur tend vers 1, donc ce terme est équivalent à x et le dénominateur à 2x. Le numérateur étant équivalent à -2x, g(x) tend vers -1.
Quand x tend vers + l'infini, g(x)/x tend vers 2. On peut donc envisager le cas où g(x) aurait une asymtote du type y=2x+k. Pour s'en assurer il faut chercher si g(x)-2x a une limite :
Ici aussi on multiplie et divise par la quantité conjuguée :
Le numérateur est équivalent à -6x et le dénominateur à -2x. La fraction est équivalente à 3. Donc g(x)-2x tend vers 3. Il y a une asymptote d'équation y=2x+3 !
par Bertrand Hamant » 21 Nov 2005, 21:06
merci beaucoup mais comment avez vous e l'idée de divise g(x) par x afin de dire que (x ) / x tend vers 2 c'est cette étape que je ne comprends pas merci
par allomomo » 21 Nov 2005, 21:11
Salut,
=x+1+ \sqrt{x^2+4x})
=g(x)-(2x+3)=x+1+ \sqrt{x^2+4x}-(2x+3)=\sqrt{x^2+4x}-(x+2))
On transforme pour pouvoir avoir la limite en plus infini,
=\frac{[\sqrt{x^2+4x}+(x+2)][\sqrt{x^2+4x}-(x+2)]}{\sqrt{x^2+4x}+(x+2)}=-\frac{4}{\sqrt{x^2+4x}+(x+2)})
(C'est la principe de la quantité conjuguée : tu fais apparaitre une identité remaquable en numérateur, ce qui écarte les racines carrés !)
Or=0)
donc la droite d'équation 
est asymptote oblique à C en plus infini
On transforme pour pouvoir avoir la limite en plus infini,
(C'est la principe de la quantité conjuguée : tu fais apparaitre une identité remaquable en numérateur, ce qui écarte les racines carrés !)
Or
par Bertrand Hamant » 21 Nov 2005, 21:13
pourquoi x+ se transforme en -x + pour la démonstration de l'asymptote oblique
par allomomo » 21 Nov 2005, 21:16
Re-
Ce que j'ai fait : "quantité conjuguée"
But : Lever le cas d'indétermination
Comment : En faisant apparaître une identité remarquable en numérateur ce qui enlève les racines carrés (après on sait faire)
Ce que j'ai fait : "quantité conjuguée"
But : Lever le cas d'indétermination
Comment : En faisant apparaître une identité remarquable en numérateur ce qui enlève les racines carrés (après on sait faire)
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