Fonction exponentielle : tangente et courbe

par **brindy** » 29 Déc 2011, 13:14

Bonjour, il y a quelques questions de la dernière partie de mon devoir maison que je ne suis pas sûr des réponses. Pouvez-vous m'aider à les résoudre s'il vous plait?

J'ai écris tous l'énoncé et quelques résultats pour mieux comprendre mais c'est à partir du 3) que j'ai du mal.

1) On considère la fonction définie sur par

a) Quel est, suivant les valeurs de x, le signe de f(x)?
b) Etudier le sens de variation de f
c) Calculer la limite de f en +00 et en -00
d) Dresser le tableau de variation de f

2)On appelle C la courbe representative de la fonction f et V la courbe représentative de la fonction

dans un repère orthonormal.

a) Montrer que C et V admettent la même tangente T au point d'abscisse (-1)

J'ai trouvé T : y = f'(-1) (x+1) + f(-1) =

3) On appelle h la fonction définie sur R par

a) Etudier le sens de variations de la fonction h et démontrer que

pour tout x

f est dérivable sur R,

h'(x) = ( u+v )' = u' + v' avec u' = 0 et v' =

h'(x) =

et

> 0 donc f(x) est strictement croissante sur R. ( Je ne suis pas sûr car sur ma calculatrice scientifique la fonction h est
décroissante en ]-oo ; -1[ et croissante en ]-1 ; +oo[
h'(x) serait plutôt du signe de x+1?

b) En déduire la position de C par rapport à V.

Je ne comprends pas quel est le rapport entre C ou V avec la fonction h.. Comment peut-on déduire la position entre 2 courbes tout en connaissant les variations de h?
Je sais que je peux trouver la position relatives de 2 courbes grâce au signe de la différence de f(x) - g(x).. mais je ne sais pas s'il faut l'appliquer ici..

4) m désigne un réel quelconque et M le point de la courbe V d'abscisse m.
a) Ecrire une équation de la tangente D à V en M.

On rappelle que V est la courbe de la fonction g
D : y = g'(m) (x-m) + g(m)
= e^m (x-m) + e^m
= xe^m - me^m + e^m
D : y = e^m ( x - m + 1)

est-ce correcte ?

b) La tangente D coupe les axes de coordonnées en A et B. Calculer en fonction de m les coordonnées du milieu J du segment [AB].

Pour trouver les coordonnées des points A et B,
Je pose x = 0

y = g'(m) (0-m) + g(m)
= g(m) - mg'(m)
= e^m - me^m
= e^m ( 1-m)
On a donc B ( 0 ; e^m (1-m) )

Je pose y = 0
g'(m) (x-m)+g(m) = 0
x= m-(g(m)/(g'(m))
x = m- (e^m/e^m) = m-1 On a donc A (m-1; 0 )

Le milieu J du segment [AB] a pour coordonnées

J ( (xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 )
J ( (m-1)/2 ; (e^m(1-m)) / 2 ) J'ai l'impression que tout est faux

c) Prouver que J appartient à C.

Pour cela il faut que y = h(x)
En le calculant, je ne trouve pas y = h(x)

Merci de m'aider.

par **johnjohnjohn** » 29 Déc 2011, 13:21

brindy a écrit:

3) On appelle h la fonction définie sur R par

a) Etudier le sens de variations de la fonction h et démontrer que pour tout x

[COLOR=DarkOrange]f est dérivable sur R,

h'(x) = ( u+v )' = u' + v' avec u' = 0 et v' =

J'ai lu ton post en diagonale. Je ne suis pas d'accord sur le résultat final du calcul de h'(x). Je conjecture que ta calculatrice a vu juste

par **johnjohnjohn** » 29 Déc 2011, 13:24

brindy a écrit:
h'(x) serait plutôt du signe de x+1?

Bah oui ! Mais à condition de bien écrire l'expression de h'(x) !

par **brindy** » 29 Déc 2011, 13:42

Merci de m'aider..

la forme h'(x) = (u+v)' n'est donc pas bonne?

faudrait-il factoriser x comme ceci :

Cela donnerait
h'(x) = (u x v)'
avec u = x
u' = 1
v = (1/x) + e^(x+1)
v'= -1/x² +e^(x+1)

Est-ce juste?

par **maths0** » 29 Déc 2011, 13:45

C'est correct jusque là.

par **johnjohnjohn** » 29 Déc 2011, 13:48

brindy a écrit:Merci de m'aider..

la forme h'(x) = (u+v)' n'est donc pas bonne?

faudrait-il factoriser x comme ceci :

Cela donnerait
h'(x) = (u x v)'
avec u = x
u' = 1
v = (1/x) + e^(x+1)
v'= -1/x² +e^(x+1)

Est-ce juste?

Tu as décidé de te compliquer la vie.

h(x)=1+x.e^(x+1)=u(x)+v(x).w(x)
h'=u'+v'w+vw'

u(x)=1 u'(x)=0
v(x)=x v'(x)=1
w(x)=exp(x+1) w'(x)=exp(x+1)

On ne peut guère plus t'aider là

par **brindy** » 29 Déc 2011, 13:52

Merci.

h'(x) = (u x v)'
avec u = x
u' = 1
v = (1/x) + e^(x+1)
v'= -1/x² +e^(x+1)

(u x v) ' = (u'v - uv') / v²

h'(x) = (1/x) + e^(x+1) - x(-1/x² +e^(x+1) )
= (1/x) + e^(x+1) + (1/x) -xe^(x+1)
= (2/x) + e^(x+1) (1-x)

est-ce correcte?

par **brindy** » 29 Déc 2011, 14:03

Ah merci beaucoup, je ne savais pas qu'on pouvait "combiner" 2 formes..

h(x)=1+x.e^(x+1)=u(x)+v(x).w(x)
h'=u'+v'w+vw'

u(x)=1 u'(x)=0
v(x)=x v'(x)=1
w(x)=exp(x+1) w'(x)=exp(x+1)

h'(x) = e^(x+1) + xe^(x+1)
= e^(x+1)(x+1)

e^(x+1) > 0 Alors le signe de h'(x) est celui de x+1

sur ] -oo ; -1[ h est strictement décroissante
sur ]-1 ; +oo[ h est strictement croissante

merci, je crois que maintenant c'est juste..

Pouvait vous m'aider pour la question 3)b) s'il vous plaît ?

par **johnjohnjohn** » 29 Déc 2011, 14:21

brindy a écrit:Ah merci beaucoup, je ne savais pas qu'on pouvait "combiner" 2 formes..

h(x)=1+x.e^(x+1)=u(x)+v(x).w(x)
h'=u'+v'w+vw'

u(x)=1 u'(x)=0
v(x)=x v'(x)=1
w(x)=exp(x+1) w'(x)=exp(x+1)

h'(x) = e^(x+1) + xe^(x+1)
= e^(x+1)(x+1)

e^(x+1) > 0 Alors le signe de h'(x) est celui de x+1

sur ] -oo ; -1[ h est strictement décroissante
sur ]-1 ; +oo[ h est strictement croissante

merci, je crois que maintenant c'est juste..

Oui mais ce n'est pas fini, pas tout à fait. On demande de déterminer le signe de h(x)

par **brindy** » 29 Déc 2011, 14:35

a) Etudier le sens de variations de la fonction h et démontrer que pour tout x :

On sait que e^(x+1) > 0 et que x > 0 donc xe^(x+1) > 0 et 1 + xe^(x+1) > 0

Je ne comprends pas comment démontrer que la fonction h est supérieur ou égal..

par **XENSECP** » 29 Déc 2011, 14:40

brindy a écrit:a) Etudier le sens de variations de la fonction h et démontrer que pour tout x :

On sait que e^(x+1) > 0 et que x > 0 donc xe^(x+1) > 0 et 1 + xe^(x+1) > 0

Je ne comprends pas comment démontrer que la fonction h est supérieur ou égal..

C'est pour tout x de R donc x > 0 est faux.

Par ailleurs il faut évidemment s'appuyer sur le tableau de variations

par **brindy** » 29 Déc 2011, 14:51

merci pour ton aide!

a) Etudier le sens de variations de la fonction h et démontrer que pour tout x :

Pour le tableau de variation

h'(x) = e^(x+1) + xe^(x+1)
= e^(x+1)(x+1)

e^(x+1) > 0 Alors le signe de h'(x) est celui de x+1

sur ] -oo ; -1[ h est strictement décroissante
sur ]-1 ; +oo[ h est strictement croissante

On sait d'après le tableau de variation, que h(x) est positive sur R, et que h(-1) = 0 donc h(x) admet un minimum au point d'abscisse -1
On en déduit que pour tout x ,

Je ne sais pas si mon raisonnement est juste..

par **XENSECP** » 29 Déc 2011, 15:01

Bah voilà ! C'était pas si dur ;)

par **brindy** » 29 Déc 2011, 15:08

Merci beaucoup!

Mais à partir de cette inégalité, quel est le lien avec les courbes des fonctions f et g ? Car on me demande :

b) En déduire la position de C par rapport à V.

Je sais que je peux trouver la position relative de ces 2 courbes avec le signe de la différence de f(x) - g(x) or je ne comprends pas comment déduire cette position à partir de l'inégalité..

Peux-tu me lancer sur la piste s'il te plaît?

par **XENSECP** » 29 Déc 2011, 15:11

f(x) - g(x) en effet... Factorise par e^x par exemple ?

par **brindy** » 29 Déc 2011, 15:29

f(x) - g(x) = -xe^(2x+1) - e^x
= e^x [ -xe^(x+1) - 1 ]

e^x > 0 et e^(x+1) > 0 donc le signe de f(x) - g(x) est celui de -(x +1) ???

D'après le tableau de signe

f(x) est sup ou égal à g sur ] -oo ; -1[
et f(x) est inf ou égal à g sur ]-1; + oo[

Je sais que j'ai faux car en vérifiant sur ma calculatrice, g(x)> f(x) sur R...

a) Etudier le sens de variations de la fonction h et démontrer queh(x) est sup ou égal à 0 pour tout x

b) En déduire la position de C par rapport à V.

Comme la question b) débute par "En déduire", il doit y avoir un lien avec la fonction h et avec les fonction f et g .. mais je ne vois pas lequel..

par **XENSECP** » 29 Déc 2011, 15:35

brindy a écrit:f(x) - g(x) = -xe^(2x+1) - e^x
= e^x [ -xe^(x+1) - 1 ]

e^x > 0 et e^(x+1) > 0 donc le signe de f(x) - g(x) est celui de -(x +1) ???

D'après le tableau de signe

f(x) est sup ou égal à g sur ] -oo ; -1[
et f(x) est inf ou égal à g sur ]-1; + oo[

Je sais que j'ai faux car en vérifiant sur ma calculatrice, g(x)> f(x) sur R...

a) Etudier le sens de variations de la fonction h et démontrer queh(x) est sup ou égal à 0 pour tout x

b) En déduire la position de C par rapport à V.

Comme la question b) débute par "En déduire", il doit y avoir un lien avec la fonction h et avec les fonction f et g .. mais je ne vois pas lequel..

Déprimant ! Tu le dis toi même qu'il faut "en déduire" et tu ne "vois" même pas h(x)...

par **brindy** » 29 Déc 2011, 15:51

f(x) - g(x) = -xe^(2x+1) - e^x
= e^x [ -xe^(x+1) - 1 ]

e^x > 0 donc le signe de f(x) - g(x) est celui de -(1 + xe^(x+1)) soit le signe opposé de celui de la fonction h ??

signe de h(x) est celui de x+1 :

sur ] -oo;-1[ c'est négatif
sur ]-1; +oo[ c'est positif

donc l'opposé du signe de h est :

sur ] -oo;-1[ c'est positif
sur ]-1; +oo[ c'est négatif

donc f(x) > g(x) sur ]-oo; -1[
et f(x) < g(x) sur ]-1; +oo[

par **brindy** » 29 Déc 2011, 17:22

est-ce correct?

par **XENSECP** » 29 Déc 2011, 17:28

brindy a écrit:f(x) - g(x) = -xe^(2x+1) - e^x
= e^x [ -xe^(x+1) - 1 ]

e^x > 0 donc le signe de f(x) - g(x) est celui de -(1 + xe^(x+1)) soit le signe opposé de celui de la fonction h ??

Oui

signe de h(x) est celui de x+1 :

sur ] -oo;-1[ c'est négatif
sur ]-1; +oo[ c'est positif

donc l'opposé du signe de h est :

sur ] -oo;-1[ c'est positif
sur ]-1; +oo[ c'est négatif

donc f(x) > g(x) sur ]-oo; -1[
et f(x) < g(x) sur ]-1; +oo[

Mais pourquoi tu fais ça tu l'a calculé dans la question d'avant le signe de h !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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