Fonction exponentielle et tangente

[Libie]

Bonjour, j'ai un exercice où il n'y a pas beaucoup d'indication pour le résoudre et j'ai beaucoup de mal à trouver la solution.
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=(e^x)-a*x, où a est un réel positif. Le but de ce problème est de savoir s'il existe une valeur de a pour laquelle la courbe représentative de f est tangente à l'axe des abscisses et, dans ce cas de déterminer l'abscisse du point de contact entre la courbe et la tangente.
J'ai d'abord fait une conjecture avec géogébra et je vois que quand a vaut 2,7 la fonction est tangente à l'axe des abscisse au point (1,0).
Alors je me suis dit qu'il fallait utiliser l'équation de la tangente y=f'(a) (x-a)+f(a), mais on ne connait pas la valeur de a donc dans cet exercice c'est y=f'(x) (x'-x)+f(x) donc 0=f'(x) (x'-x)+f(x)-y et j'ai essayé de résoudre f(x)=f'(x) (x'-x)+f(x)-y et ça me donne 3 inconnues alors je suis totalement perdu !
Merci de bien vouloir m'aider s'il vous plait

[annick]

Bonjour,
en fait tu sais que f(x0)=0 ( x0 est l'abscisse du point de tangence) et que puisque ta courbe est tangente à l'axe des abscisses en x0, f'(x0)=0.
Avec ces deux choses, tu peux trouver facilement x0 et a.

[hammana]

Bonjour, j'ai un exercice où il n'y a pas beaucoup d'indication pour le résoudre et j'ai beaucoup de mal à trouver la solution.
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=(e^x)-a*x, où a est un réel positif. Le but de ce problème est de savoir s'il existe une valeur de a pour laquelle la courbe représentative de f est tangente à l'axe des abscisses et, dans ce cas de déterminer l'abscisse du point de contact entre la courbe et la tangente.
J'ai d'abord fait une conjecture avec géogébra et je vois que quand a vaut 2,7 la fonction est tangente à l'axe des abscisse au point (1,0).
Alors je me suis dit qu'il fallait utiliser l'équation de la tangente y=f'(a) (x-a)+f(a), mais on ne connait pas la valeur de a donc dans cet exercice c'est y=f'(x) (x'-x)+f(x) donc 0=f'(x) (x'-x)+f(x)-y et j'ai essayé de résoudre f(x)=f'(x) (x'-x)+f(x)-y et ça me donne 3 inconnues alors je suis totalement perdu !
Merci de bien vouloir m'aider s'il vous plait

La courbe rencontre l'axe Ox si (e^x)-a*x=0 ou e^x=a*x
Elle est tangente à Ox si la dérivée est nulle ou e^x=a

Conclusion ?

[annick]

Tes deux équations sont justes.
Ensuite, tranquille :

e^x=a*x
e^x=a

Donc

ax=a x=1 e^1=a a=e (c'est bien le 2,7 que tu avais conjecturé :lol3: )

C'est parfois les choses les plus simples que l'on voit le moins !

[Libie]

Ha d'accord merci beaucoup, donc si j'ai bien compris il suffit de dire que f(x)=0 comme f est tangent à l'axe des abscisses et e^x-ax=0 équivaut à e^x= ax, mais je ne comprend pas pourquoi on dit f'(x) =0, parce que ce n'est pas dit que la dérivé vaut 0 non ?

[hammana]

Ha d'accord merci beaucoup, donc si j'ai bien compris il suffit de dire que f(x)=0 comme f est tangent à l'axe des abscisses et e^x-ax=0 équivaut à e^x= ax, mais je ne comprend pas pourquoi on dit f'(x) =0, parce que ce n'est pas dit que la dérivé vaut 0 non ?

On écrit f(x)=0 c.à.d e^x=ax pour exprimer que la courbe rencontre l'axe Ox ( tangente ou pas)
On écrit f'(x)=0 pour exprimer que la courbe est tangente à Ox

En général f'(x) est la pente de la tangente au point d'ascisse x. Mais comme la courbe est tangente à l'axe Ox dont la pente est zéro, cela donne f'(x)=0

[annick]

Si la courbe est tangente à l'axe des abscisses en x0, cela veut dire que la tangente à la courbe est horizontale et donc que son coefficient directeur est nul. Or c'est la valeur de la dérivée en un point donne le coefficient directeur de la tangente en ce point. Donc ici, la dérivée est nulle en x0.

[Libie]

Ha oui l'an dernier on avait vu que f'(a) c'était le coefficient directeur, la dérivée je l'avais oublié :s
Merci beaucoup

[annick]

Tant mieux si j'ai pu contribuer à raviver ta mémoire. Essaye de t'en souvenir, ça sert très souvent.
Bonne fin de journée.

[Libie]

D'accord je tacherais à m'en souvenir, merci encore et bonne journée.