Fonction et asymptote

[Shash]

Bonjour, j'ai quelques exercices à faire pour un DM...
Je voulais savoir si mes résultats étaient corrects !

Soit f(x) = 3x +2 / x +4

J'ai trouver 2 racines -3/2 et -4
On me demande de trouver l'ensemble de défintion ; R / {-4} ?

La fonction dérivée de la fonction est bien : 10 / (x+4)² ?
Et ses variations sont f croissante de ]-infini -4[U]-4 + infini [ ?

La limite en +infini de f : + infini
La limite en -infini de f : + infini
La limite en -4 de f : La je bloque ...
(Pour les limites au borne de def.)

Donc on remarque une asymptote verticale en x=-4 à la courbe représentative de f ?

Pr le tableau de variation ;
Normalement c'est bon avec la correction des réponses d'avant ...

Et montrer que Pour tt x de I (intervalle [0;1] f(x) appartient à I
Dc pour sa, si vous pouvez m'aider à démontrer ...
J'ai commencé à mettre Si f(x) = 0 on trouve 2 solutions
Et pareil si f(x) = 1 (2 sol. pareil ^^)

Merci d 'avance

[marie49]

bonjour shash
attention a ne pas confondre racine et valeur interdite

x est racine de f signifie que f(x)=0
c.a.d 3x+2=0
ou encore x=-2/3

mais -4 est une valeur interdite, pas une racine

pour la dérivée et les variations je suis d'accord avec toi

par contre pour les limites en+/- inf je te conseille d'écrire 3x+2=3(x+4)-10 tu verras des simplifications apparaitre

[Shash]

Daccord pour racine (-3/2) et valeur interdite (-4)
R/ {-4} c'est correct comme écriture pour l 'ensemble de def. ?


J'ai calculer les racines avec le quotient des termes en + haut degré : 3x/x pour +/- inf.

3x+2=3(x+4)-10 ?! Il y a besoin de simplifier pour la valeur interdite -4 ?

Dc on aurait :

lim 3(x+4) - 10 = -10 (J'ai trouvée sa sur mon brouillon avt sa revient à 2x +3 on trouve -10 aussi )
x -> -4

Ms c'est pour lim (x->-4) de x-4 que je n'arrive pas ...

[marie49]

attention c'est -2/3 (pas -3/2)
sinon oui tu peux ecrire R/{-4} comme domaine de définition

si tu calcules la limite en faisant le quotient des termes de plus haut degré, je ne comprend pas pourquoi tu trouves lim en +inf = +inf et limite en -inf= -inf

moi je trouve que la limite est egale a 3 en +/- inf

et en -4, c'est juste le quotient des limites. quelle est la limite du numerateur en -4? et celle du denominateur? donc quelle est la limite de f?

attention, distingue qd x tend vers -4 et x<-4 et qd x tend vers -4 et x>-4

[marie49]

sinon c'est bien 3x+2=3(x+4)-10
et ca te donne f(x)=1-10/(x+4) (qd tu divises tout par (x+4))

c'est plus pratique je trouve pour calculer la limite en +/- inf

[Shash]

lim + inf = 3x/x = 3 ? (c'est comme si on remplacer par 1 en faite ^^)
lim - inf = 3x/x = 3 (Logique^^ - et - = + )
Ok javais pas vu sa comme sa...

quelle est la limite du numerateur en -4?
10 ?
et celle du denominateur?
x<-4 : +inf. ?
x>-4 : -inf. ? (ms qd sa dépasse 0 sa change de signe :s)
donc quelle est la limite de f?
je vois pas troop là ^^

[Shash]

On a aussi une 2e partie :
F(x) = 3x +é / x +4
Une suite (Un) définie par Uo = 0 et pour tout entier naturel n, Un+1 = f(Un)
Une suite (Vn) définie par Vn = Un – 1 / Un + 2

Il faut montrer que pr tt entier naturel n, Un appartient à I (intervalle [0 ;1])
Dc j’ai calculé les U1 U2 U3 et ils sont tous compris entre 0 et 1
C’est bon comme raisonnement ? et donc Un appartient à I ^^

Après c’est établir Un+1 – Un et il faut qu’on trouve (1-Un)(Un+2) / (Un + 4)

Dc on a la relation Un+1 = 3Un +é / Un +4
Et pour Un, j’ai pris Vn en faisant en sorte qu’on est Un = …
Après niveau calcul je bloque un peu …
Ce qui me gène c le dénominateur (x-4) qu’on doit trouver…
Ya peut-être plus simple ?

[marie49]

attention c'est -10 au numérateur

dans ton cours tu n'as pas un tableau avec les produits de limites, les sommes, les quotients etc?

si lim N=l quand x tend vers a
et lim D=0 quand x tend vers a

alors lim N/D= ... quand x tend vers a

par contre fais bien attention au signe au numérateur comme au dénominateur

[Shash]

Ah si ds mes cours de 1S surement ^^
Alr limN/D = Valeur indéterminée?

[marie49]

non, dans ce cas tu as lim N/D=+/-inf (selon le signe de N et de D)

par exemple :
lim 1/x= -inf quand x tend vers 0 et x<0
lim 1/x= +inf quand x tend vers 0 et x>0

donc la tu trouves...

[marie49]

pour l'asymptote verticale en x=-4 je suis d'accord
le tableau de variations semble bon, faudra juste rajouter les limites quand tu les auras trouvées

montrer que Pour tt x de I (intervalle [0;1] f(x) appartient à I
Dc pour sa, si vous pouvez m'aider à démontrer ...
J'ai commencé à mettre Si f(x) = 0 on trouve 2 solutions
Et pareil si f(x) = 1 (2 sol. pareil ^^)

entre 0 et 1 tu as vu que ta fonction était croissante
calcule f(0) et f(1)
que conclus tu?

[Shash]

Daccord bon sa c'est les vac's ...
Faut le temps de s'y remetre d'accord et comme sa c'est mieux pour trouver une asymptote si on a +/- inf.

Merci marie49!

[Shash]

C'est bon pr les limites ^^

f(0) = 1/2
f(1) = 1

Dc 0 < f(x) < 1
Dc f(x) appartient à I ?

[marie49]

oui tu as meme pour x entre 0 et 1, f(x) est entre 1/2 et 1

tu as trouvé quoi comme limite quand x tend vers -4 et x<-4?
et quand x tend vers -4 et x>-4?

moi je trouve (dans l'ordre) +inf et -inf

[Shash]

Oué c'est bien saa pr les lim ! (Ouff^^)

On a aussi une 2e partie :
F(x) = 3x +é / x +4
Une suite (Un) définie par Uo = 0 et pour tout entier naturel n, Un+1 = f(Un)
Une suite (Vn) définie par Vn = Un – 1 / Un + 2

Il faut montrer que pr tt entier naturel n, Un appartient à I (intervalle [0 ;1])
Dc j’ai calculé les U1 U2 U3 et ils sont tous compris entre 0 et 1
C’est bon comme raisonnement ? et donc Un appartient à I ^^

Après c’est établir Un+1 – Un et il faut qu’on trouve (1-Un)(Un+2) / (Un + 4)

Dc on a la relation Un+1 = 3Un +2 / Un +4
Et pour Un, j’ai pris Vn en faisant en sorte qu’on est Un = …
Après niveau calcul je bloque un peu …
Ce qui me gène c le dénominateur (x-4) qu’on doit trouver…
Ya peut-être plus simple ?

[marie49]

c'est la meme fonctionf?

si oui, alors il faut utiliser la question precedente :
tu as vu que pour tout x dans I, f(x) est aussi dans I

or, ici, tu as u0=0 appartient à I
donc f(u0) appartient à I, et ainsi de suite
finalement pour tout n dans N tu auras un appartient à I

toi tu as calculé les premiers termes, et c'est bien, mais ca ne prouve pas que c'est valable pour tout n. c'est vraiment l'étude de ta fonction f qui te permet de conclure

[marie49]

après pour la question suivante tu as un+1=f(un)
donc tu fais f(un)-un (tu as juste à remplacer)

[Shash]

Daccord jsuis partie ds des calculs pas possible ...
alors que sa pouvait pas être plus simple que sa !
Merci

[Shash]

Ensuite, il faut trouver les variations de (1-Un)(Un+2) / (Un + 4)

Dc pareil qu'au début on pose :
(1-Un)(Un+2) / (Un + 4) = 0

Et x = 1 et -2 comme racines
Dc f(x) > 0 pour ]- inf. -2] U [ 1 +inf.[
Dc f(x) < 0 pour [-2 ; 1]