[TS] limite d'une fonction et asymptote

[Mamate7]

Bonjours à tous,

J'étais entrain de réviser mes maths quand je tombe sur cet exercice dont je ne trouve pas la solution.

Soit f la fonction définie sur Df=]-inf;-3]U [3;+inf [ par
f(x)= x+rac(X^2 -9)
Cf est sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j)

1. Calculer les limites de f en +inf et en -inf
En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe Cf.

2. Prouver que la droite D d'équation y=2x est asymptote à la courbe Cf en +inf.

Voila mon probleme:
J'ai réussi à calculer mes deux limites (enfin je pense) soit:

En +inf:

.lim x = +inf
x->+inf
.lim rac(x^2 -9)= +inf
x->+inf

Par somme de limites, on a lim f(x)= +inf
x->+inf

En -inf:

puisque l'on a une forme indéterminée, on utilise l'expression conjuguée.
Soit f(x)=\frac{-9}{x+rac(x^2 -9)}
.lim f(x)= 0
x-> -inf

On en déduit une asymptote soit x=0 (?) mais après je ne sais pas comment trouver l'asymptote y=2x.

Est-il possible de dire:
Puisque f(x)>0, on a f(x)= x + (x-3)= 2x -3

Merci de me venir en aide

[Ericovitchi]

Pour trouver l'asymptote oblique il faut que tu montre que f(x)-2x tends vers zéro quand x tends vers l'infini
(la distance entre la droite et la courbe tends vers zéro)

[Mamate7]

d'accord merci beaucoup, mais pensez - vous que mes réponses précédentes sont correctes?

[Ericovitchi]

oui c'était juste

(il y a juste quand tu te retrouve avec x+rac(x^2 -9) au dénominateur, tu conclus que ça tends vers zéro et donc que x+rac(x^2 -9) tends vers l'infini mais en fait tu es devant une forme indéterminée -l'infini +l'infini
donc tu conclus un peu vite mais le résultat est vrai quand même. il aurait fallu mettre x en facteur)

[Mamate7]

d'accord merci beaucoup

mai en fait je me suis tromper, je viens de le refaire sur ma feuille et je trouve f(x)= 9/(x- rac(x^2 -9)
Et c'est plus logique vu que cette fois je n'ais pas de forme indéterminée.

[Mamate7]

J'ai encore un petit problème de racine carrée:
rac(x^2-9)= rac( x^2 - 3^2)
Cela donne quoi quand on retire la racine?

si vous pouviez m'aider ça serait gentil, merci encore

[Ericovitchi]

on ne peut pas enlever la racine comme ça.

mais pour calculer des limites, on peut mettre x² en facteur et le sortir si x -> + l'infini
ou si x -> - l'infini

[Mamate7]

ah d'accord, oui j'ai vu cette méthode dans un exercice ! mais ici comment est ce que je fais pour déterminer le signe de f'(x) en sachant que:

f'(x)= 1+ x/( rac(x^2-9))
= (rac(x^2-9) + x)/ (rac(x^2-9))
On va utiliser l'expression conjuguée:
f'(x)= -9/ (x^2 -9 -xrac(x^2-9))
A ce stade je ne vois pas comment déterminer le signe.

[Ericovitchi]

Pour étudier le signe de 1+ x/( rac(x^2-9))
le plus simple est d'essayer de résoudre 1+ x/( rac(x^2-9)) >0

Sous la forme tu vois assez vite qu'elle est positive pour x> 0 (ou plutôt x>3 car la fonction n'est pas définie entre -3 et 3) et négative pour x<-3

[Mamate7]

d'accord merci beaucoup