Besoin d'un petit peu d'aide fonction et asymptote

[malaikadu57]

Bonjour à toutes et à tous,

Je suis actuellement en Terminale S au CNED et c'est pas évident de travailler toute seule.

J'aurais besoin de vos avis sur ce que j'ai déjà fait dans cet exo et d'un peu d'aide pour la fin.

I] On considère la focntion g définie sur R par g(x) = x^3 + 3x + 4.

1) Calculer g'(x).Déterminer alors le sens de variation de g.

--> g'(x) = 3x² + 3. 3x² + 3 est toujours positif donc g(x) est une fonction croissante sur R.

2) En déduire le signe de g(x) ( on pourra calculer g(-1)).

--> g(-1) = -3 + 3 = 0
g(x) < 0 si x < -1
g(x) = 0 si x = -1
g(x) > 0 si x > -1

II] On considère la focntion f définie sur R par f(x) = (x^3 - 2)/(x² + 1).On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1) Déterminer lim f(x) et lim f(x)
x-> +infini x-> - infini

--> x -> + infini
lim f(x) = lim x^3/x² = lim x = + infini

x -> - infini
lim f(x) = lim x^3/x² = lim x = - infini

2) Calculer f'(x).

--> f(x) = (u(x))/(v(x))

f'(x) = [ u'(x) v(x) - v'(x) u(x) ]/(v²(x))
=> u(x) = x^3 - 2 => u'(x) = 3x²
=> v(x) = x² + 1 => v'(x) = 2x

f'(x) = [ 3x² ( x² + 1 ) - 2x ( x^3 - 2 )]
f'(x) = [ 3 x^4 + 3x² -2x^4 + 4x]/(x²+1)²
f'(x) = [ x^4 + 3x² + 4x ]/(x² +1 ) ²
f'(x) = x ( x^3 + 3x + 4 )/(x² +1 )²

3) En déduire que f'(x) et x.g(x) ont le même signe.

f'(x) = x ( x^3 + 3x +4 )/(x² + 1 )²
f'(x) = x.g(x)/(x²+1)²

f'(x) = x.g(x) le dénominateur est le même dans les deux cas donc f'(x) et x.g(x) ont le même signe

Je suis pas très sûre pour cette question.

4) Dresser alors le tableau de variations de f.

-infini 0 -1 +infini

g(x) - - +

x - + +

f'(x) + - +

f(x)


Je bloque un peu pour compléter la dernière ligne.


III]

1) Montrer que pour tout x de R,f(x) = x-((x+2/x²+1).En déduire que la droite D d'équation y = x est asymptote à C.

2) Préciser les positions relatives de C et D.

3) Représenter sur un même graphique C et D ( on prendra 1 cm comme unité graphique ).


Voilà un grand merci à ceux qui m'aideront pour la fin et me corrigeront le début.

[L.A.]

Bonjour.

J'ai relevé quelques oublis dans ce que tu as écrit :

f'(x) = [ 3x² ( x² + 1 ) - 2x ( x^3 - 2 )] /(x²+1)² (première ligne)


f'(x) = x.g(x) /(x²+1)² le dénominateur est le même dans les deux cas (??) donc f'(x) et x.g(x) ont le même signe

Tout m'a l'air juste jusqu'au tableau de signe y compris.

pour les variations de f : un tableau de variations tout bête : on distingue trois domaines sur lesquels les variations sont différentes, grâce au signe de la dérivée ; on peut ensuite rajouter les valeurs ou les limites de f au bornes de ces domaines dans le tableau.

question III 1 : c'est un calcul : pars du résultat à trouver et cherche à remonter à f.

ensuite il faut étudier f(x) - x (limites et signe) pour obtenir l'asymptote et la position relative.

[Le Chaton]

Bonjour,
Pour la question 3, il te suffis de dire que le dénominateur est toujours positif ... donc il n'influe pas sur le signe de ta fonction ...

Concernant le tableau de signe il faut juste mettre le "-1" avant le 0. Et tout remettre en ordre :p

Pour la III)
Vers quoi tend ((x+2/x²+1)... en +l'infini ?

[malaikadu57]

Ma lanterne s'éclaire un peu merci beaucoup pour vos réponses.