Exponentielle

[coco]

Bonjour à tous, je suis actuellement en terminale S et il se trouve que je n'arrive pas à résoudre ce problème, pouvez vous m'aider?

Le but du problème est l'étude d'une fonction gk où k est un réel fixé qui vérifie 0 inférieur à k inférieur à e

Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur R par:
f(x)=(2-x)e^x-k

1) Déterminer les limites de f en - infini et en + infini

2) Calculer f'(x). En déduire le tableau de variation de f. Calculer f(1)

3) Etablir que l'équation f(x)=0 a deux solutions, l'une Bk appartenant à l'intervalle ]1;+infini[, l'autre alpha k appartenant à l'intervalle ]-infini;1[


Merci beaucoup de m'aider

[Chimerade]

Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur R par:
f(x)=(2-x)e^x-k

ou

?

[Anonyme]

salut ,j'espere que ca t'aidera:
1)f(x)=(2-x)e^(x-k)
limite en + inf: lim -x=-inf et lim e^(x-k)=+inf donc lim f(x)=-inf
limite en - inf:on peut faire un chgt de variable x=-X
soit (2+X)e^(-X-k) or limite en +inf de nXe^-X=0 (cours)
donc lim f(x)=0 qd x tend vers -inf

2)f'(x)=-(x-2)e^(x-k)-e^(x-k) pr tt x ds R (u.v=u'v+uv')
=e^(x-k)(-x+1)

f(1)=e^(-k+1)

tableau de variation:
sur ]-inf,1] f croissante sur [1,+inf[ f decroissante ...

3) Sur ]-inf,1] f est continue et croissante avec lim en - inf de f =0 et f(1)=e^(-k+1) elle realise une bijection de ]-inf,1] sur ]0,e^(-k+1)] ,0 appartient à ]-inf,1] dc il existe un antecedant ak tq f(x)=0 ds ]0,e^(-k+1)]

idem pour bk...

[coco]

Salut Chimerade, il s'agit de la premiere ecriture que tu as inscrite.

Merci de m'aider

[julian]

Salut,





et

Donc





Donc

Ca a où tu veux les étapes intermédiaires?


u=2-x et u'=-1
et
w=k et w'=0

Donc
Je ne pense pas que le tableau va te poser trop de problèmes.

Pour la dernière question il suffit d'utiliser le théorèmes de la bijection sur les 2 intervalles. (en n'oubliant pas de préciser que la fonction est strictement continue et croissante sur ces intervalles :++:)
Cordialement.

[coco]

J'ai maintenant compris le début grace à vous et je vous en remercie. Maintenant j'ai quelques problème pour la suite:


b) Montrer que: exp(alpha k)-k alpha k=(exp(alpha k)-k)(alpha k-1)

On démontrerait de même que Bk vérifie l'égalité:

exp(Bk)-kBk=(exp(Bk)-k)(Bk-1)

c) Déterminer une valeur approchée à 10^-1 près de alpha 1, B1 et B2

4) Préciser le signe de f(x) suivant les valeurs de x

Merci beaucoup de me donner quelques pistes.