Exponentielle

[nico033]

Bonjour jai deux petites questions sur les exponentielles que je narrive pas pourriez vous maider sil vous plait, merci bcp

voici les deux sujets:

Montrer que lim xexp(x) = 0.
x tend vers -infini

sachant que lim exp (x)/x = + infini
x tend vers + infini

f(x) = exp ((x-1)/(x²)) si x different de 0 et f(x) =a si x = 0.
déterminer une fonction definie sur IR de la forme f(x) = u(x) exp(v(x)) si x différent de 0 avec f(x) = a si x = 0.
telle que f soit continue en zéro mais pas dérivable en 0. Trouver u(x) et v(x).

[armor92]

on sait par hypothèse que :
lim exp (x)/x = + infini
x tend vers + infini

donc si l'on change x en -x on obtient :
lim exp (-x)/(-x) = + infini
x tend vers - infini

on applique exp(-x)/(-x) = - 1/(exp(x)*x)
ona donc :
lim - 1/(exp(x)*x) = + infini
x tend vers - infini

d'ou finalement :
lim exp(x)*x = 0
x tend vers - infini

[armor92]

f(x) = exp ((x-1)/(x²)) si x different de 0 et f(x) =a si x = 0.
déterminer une fonction definie sur IR de la forme f(x) = u(x) exp(v(x)) si x différent de 0 avec f(x) = a si x = 0.
telle que f soit continue en zéro mais pas dérivable en 0. Trouver u(x) et v(x).

Je ne comprend pas bien l'énoncé. On définit la fonction précisemment f(x), puis on demande de déterminer une fonction f(x) de la forme...

Peux tu détailler plus l'énoncé ?

[nico033]

oui monsieur,

ben en faite on nous donne une fonction f definie sur IR par
f(x) = exp ((x-1)/(x²)) si x différent de 0 et f(x) = a si x = 0.

On nous demande de dire si la fonction f est derivable en 0? ( jai dis quelle ne letais pas jai utiliser le theoreme f(a+h)-f(a)/h et jai calculer sa limite est-ce ca monsieur??

puis apres on nous demande de dire si f'(x) est continue en zéro? (la je ne sais pas comment faire).

Puis on me dis de déterminer une fonction définie sur IR de la forme f(x) = u(x) exp(v(x)) si x différent de 0 telle que f soit continue en zéro mais pas dérivable en zero. Vous expliquerez au maximum les raisons qui vous ont conduits a chercher u(x) et v(x) sous une forme plutot qu'une autre.

Voila le sujet en totalité monsieur

[armor92]

Avant d'étudier la dérivabilité en 0, il faudrait étudier la continuité de f(x) en 0 !
Pour que la fonction f soit continue en 0, il faut que :
lim f(x) = f(0)= a
x->0

lim (x-1)/(x²) =
x -> 0
lim -1/x² = - infini
x ->0

donc
lim f(x) = exp((x-1)/x²) = 0
x->0

Donc si a = 0, la fonction est continue en 0.

Si a != 0, la fonction n'est pas continue en 0. Dans ce dernier cas, on ne peut pas parler de dérivabilité en 0 car une fonction qui n'est pas continue en un point n'est pas dérivable en ce point.

Pour la suite de l'exercice je suppose qu'il faut supposer a = 0 !!!
Dans ce cas, pour dire si la fonction est dérivable en zéro, il faut en effet étudier la limite :
lim (f(x) - f(0)) / (x - 0)
x ->0
autrement dit :
lim f(x) /x = 0
x->0

On peut montrer que :
lim exp((x-1)/x²)/x = 0
x->0

Dans le cas ou a=0, la fonction est dérivable en 0.

[nico033]

merci monsieur, je vais regarder de plus pres tout ca et essayer de comprendre

[armor92]

Pour dire si f'(x) est continue en 0, il faut d'abord calculer f'(x) pour x!=0
Si x!=0
f'(x) = (x² - (x-1)*2x)/x^4 * exp((x-1)/x²) = (2x - x²)/x^4 * exp((x-1)/x²)
f'(x)= (2 - x)/x^3 * exp((x-1)/x²)

Pour que f'(x) soit continue en 0, il faut :
lim f'(x) = f'(0) = 0
x->0

On doit pouvoir montrer que :
lim (2 - x)/x^3 * exp((x-1)/x²)= 0
x->0

Donc la fonction f'(x)est continue en 0.