[ Résolu !!! ] Exponentielle

par **haricot29** » 06 Déc 2006, 14:50

coucou tout le monde !
voila j'ai un exo sur les exponentielle et je suis pas sur sur de moi et je bloque sur certains trucs, donc j'aimerais bien un petit coup de pouce au moins me dire si ce que je reponds est correct merci d'avance

Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire
soit g la fonction définie sur R par g(x) = e^x * (1-x) +1
1) étudier le sens de variations de g.
2) démontrer que l'éq g(x)=0 admet une unique solution ds l'intervalle [1.27 ; 1.28] ; on note "a" cette solution.
3) determiner le signe de g(x) sur ] -infini ;0]
Montrer que g(x) > 0 sur [0;a[ et g(x) < 0 sur [a; +infini[.

Je suis entrain de chercher ses questions, juste pour être sur :
pour la 1 je cherche la fonction dérivée, j'étudie son signe et je fais un tableau de signe.
pour la 2, j'utilise le corollaire du TVI.
pour la 3, j'utilise une démo ?

par **fonfon** » 06 Déc 2006, 15:00

Salut,

pour le 1) oui tu fais comme ça
pour le 2) c'est le TVI
pour le 3) c'est grâce à la question 2) car tu as trouvé une valeur a ds [1.27 ; 1.28] tel que g(a)=0 donc d'apres les variations de ta fonction tu pourras facilement conclure

par **haricot29** » 06 Déc 2006, 15:04

j'ai un tit probleme pour la dérivée car
g(x) = e^x * (1-x) +1
= e^x - xe^x +1

g'(x) = (xe^x) -(x²e^x)

et quand je mets dans la calculette ben cava pas ?! :hein:
parce que g'(x) devrait etre positif quand g est croissante et g'(x) négatif quand g décroissante est ce n'est pas le cas ...

par **fonfon** » 06 Déc 2006, 15:13

j'ai un tit probleme pour la dérivée car
g(x) = e^x * (1-x) +1
= e^x - xe^x +1

g'(x) = (xe^x) -(x²e^x)

et quand je mets dans la calculette ben cava pas ?!
parce que g'(x) devrait etre positif quand g est croissante et g'(x) négatif quand g décroissante est ce n'est pas le cas ...

tu dois te tromper en derivant le 1 est une constante et on derive e^x(1-x) comme un produit

donc comme e^x>0 sur R c'est du signe de -x

par **haricot29** » 06 Déc 2006, 15:13

pour la 2)
d'apres le corollaire du TVI
g est définie sur R
g est strictement décroissante sur [0 ; +infini [
g(0)=2
lim g(x) = -infini
x-> +infini
Soit 0 appartient à [o;+infini[
L'éq g(x) = 0 admet une solution et une seule notée "a" sur l'intervalle [0;+infini]
g(1.27) = 0.3857 > 0
g(1.28) = -0.0071 < 0
"a" est comprise entre 1.27 et 1.28

par **fonfon** » 06 Déc 2006, 15:17

pour la suite ça va

par **fonfon** » 06 Déc 2006, 15:20

pour montrer que g est >0 sur ]-inf,0] tu as dû calculer la limite de g en -inf et comme g est croissante sur ]-inf,0] tu pourras conclure

par **haricot29** » 06 Déc 2006, 15:33

3) sur l'intervalle ]-infini ; 0] ; g(x) >ou = 2 car g strcitement croissante donc le signe de g(x) sur cet intervalle est positif.
a est compris entre 0 et +infini
sur l'intervalle [0 ; a[ ; g(x) > 0 car g est strictement décroissante, g(0)=2 et g(a)=0
sur l'intervalle ]a ; +infini[ ; g(x) < 0 car g est strictement décroissante, g(a)=0 et lim g(x) = -infini qd x tend ver +infini

C'est ok la rédac ?

par **haricot29** » 06 Déc 2006, 15:40

Partie B : Etude de la fonction f

soit f la fonction définie par f(x) = (x/e^x +1)+2
On désigne par (Cf) la courbe representative de f ds un repere orthogonal (O, I, J), unité graph 1 cm pr l'axe des abscisses, 2 cm pr l'axe des ordonnées

1) déterminer la limite de f en +infini et interpréter graph ce résultat.

2)
a) determiner la limite de f en - infini.
b) démontrer que la droite (d) d'éq y=x+2 est une asymptote pr (Cf).
c) etudier la position de Cf par rapport à (d).

3)
a) montrer que la fonction dérivée de f à meme signe que la fonction g [COLOR=Red]etudiée ds la partie A.
b) montrer qu'il existe 2 entiers p et q tel que f(a) = pa + q[/COLOR]
c) dresser le tableau de variation de la fonction f.

4) tracer la courbe (Cf) ds le repere avec ses asymptotes et sa tangente au point d'abscisse a.

Questions en rouge = Questions répondues

par **fonfon** » 06 Déc 2006, 15:44

C'est ok la rédac ?

pour le debut il faut juste montrer que g(x)>0 sur ]-inf,0] il suffit de marquer que limg(x)=1 qd x>-inf et que g est croissante sur ]-inf,0] avec g(0)=2 donc g(x)>0 sur ]-inf,0]
pour le reste ça va un peu pres (apres c'est la façon que ton prof redige, tu verras bien mais le raisonnement est là)

par **haricot29** » 06 Déc 2006, 15:56

ok merci, non ça va mon prof n'est pas trop dur sur la rédaction mais bon je préfére être sur que sauter des étapes qui sont parfois essentielles...

Alors pr la partie B :
euh javoue j'ai du mal a trouver la limite de la fonction qd on arrive a une forme indéterminée... je ne sais jamais comment factoriser ou quoi...
d'ailleurs pr la limg(x) en + infini de la partie A je n'ai pas reussi on a une FI comment faire, qu'est ce qui faut factoriser ?

par **fonfon** » 06 Déc 2006, 16:13

en fait tu peux utiliser ce que tu as fait

j'ai un tit probleme pour la dérivée car
g(x) = e^x * (1-x) +1
= e^x - xe^x +1

tu factorises par xe^x donc

et

or tu sais que

donc

avec un chamgement de variable ça aurait marché aussi

pour la partie B c'est:

en +inf tu appliques les formules du cours

par **haricot29** » 06 Déc 2006, 16:26

ok merci pr la partie A
euh pour la Partie b je ne vois pas comment tu passe de f(x) = x/(e^x +1) +2 a lim xe^-x =0 qd x tend ver +infini ?!

par **fonfon** » 06 Déc 2006, 16:33

tu sais que la limite en +inf c'est la même que le rapport des termes de plus haut degré donc

donc

pour l'interpretation graphique tu regardes ton cours concernant les asymptotes

par **haricot29** » 06 Déc 2006, 16:39

a ok d'accord !
donc la lim en + infini est 2.
dc f(x) a une asymptote horizontal y=2 en +infini*

pour la question 2)a) je fais la meme chose limf(x) = -infini qd x tends vers -infini

C'est ok ?

par **fonfon** » 06 Déc 2006, 16:45

oui c'est bien -infini en -infini

par **haricot29** » 06 Déc 2006, 16:49

bon je vais faire une petite pause, je pense revenir ce soir ! Merci pour ton aide, c'est super simpa de ta part... peut etre a ce soir ! Bisou
:we: :we: :we:

par **fonfon** » 06 Déc 2006, 16:54

peut-être car faut que je me leve de bonheur demain mais ce qui te reste à faire n'est plus tres dur

par **haricot29** » 06 Déc 2006, 21:43

pour la question 2)c)
j'ai fait f(x) - (d) et le tableau de signe ainsi j'ai trouvé quand f(x) était au dessus ou en dessous de (d)

C'est ok ?

ok donc pour la question 3)a)
f(x) = (x/e^x +1)+2
je calcul f'(x)
est ce que si je fais :
u(x):x
u'(x):1

v(x):e^x +1
v'(x):xe^x

f'(x) = (u'v-uv') / v²
= (e^x+1-x²e^x)/ (e^x+1)²
Hum... j'avoue jpense pas que ce soit comme ça qui faut que je fasse ?! Si ?
:marteau:

par **haricot29** » 07 Déc 2006, 12:12

je suis la pour une petite demi-heure dc si quelqu'un pouvait m'aider sur la question 3)a) parce que je ne pense pas que ma dérivée de f soit bonne ?! ( au pire je pense revenir sur le forum de 3h a 4h...) Merci de votre aide !

[ Résolu !!! ] Exponentielle

[ Résolu !!! ] Exponentielle

Qui est en ligne