[Term S] exponentielle

[Anonyme]

Bonjour,

Je donne des cours particulier en terminale S et il y a un exo
du bouquin qui me pose problème.

Il faut d'abord démontrer

1+x <= e^x <= 1/(1-x) pour tout x<1

ça c'est bon. Par contre, la question suivante ne m'a pas
l'air évidente.

En déduire que pour tout n>=1 :

(1+1/n)^n < e < (1+1/n)^{n+1}

En posant n=1/x, on trouve

(1+1/n)^n < e < (1+1/(n-1))^n

Donc pour l'inégalité à gauche ça marche, mais à droite, il faudrait
démontrer que la suite

u_n = (1+1/n)^n

est croissante.
Après avoir séché lamentablement, j'ai fait une recherche google et trouvé une démonstration qui utilise l'inégalité de Bernoulli.

Ce qui m'étonne, c'est le "En déduire", parce que ce n'est pas vraiment
direct, et aussi le fait que l'exo a zéro étoile sur une échelle allant
jusqu'à trois étoiles.

J'ai loupé un truc évident ?
Sinon, quelqu'un a le bouquin de terminale S et peut me dire si l'inégalité de Bernoulli est effectivement mentionnée dedans ?

Merci

--
Yves Kuhry

[Anonyme]

On Thu, 14 Oct 2004 18:26:09 +0200
Yves Kuhry wrote:

> Donc pour l'inégalité à gauche ça marche, mais à droite, il faudrait
> démontrer que la suite
>
> u_n = (1+1/n)^n
>
> est croissante.

oups

un = (1+1/(n-1))^n



--
Yves Kuhry

[Anonyme]

Le 14/10/2004, Yves Kuhry a écrit :
[color=blue]
> Il faut d'abord démontrer
>
> 1+x
> ça c'est bon. Par contre, la question suivante ne m'a pas
> l'air évidente.
>
> En déduire que pour tout n>=1 :
>
> (1+1/n)^n
> En posant n=1/x, on trouve
>
> (1+1/n)^n

[Anonyme]

On Thu, 14 Oct 2004 19:03:15 +0200
eric@StFlou.invalid (E.Depardieu) wrote:

> Le 14/10/2004, Yves Kuhry a écrit :
>[color=green]
> > Il faut d'abord démontrer
> >
> > 1+x >
> > ça c'est bon. Par contre, la question suivante ne m'a pas
> > l'air évidente.
> >
> > En déduire que pour tout n>=1 :
> >
> > (1+1/n)^n >
> > En posant n=1/x, on trouve
> >
> > (1+1/n)^n
> Et en prenant x=1/n+1 ?
>
Ben... ça marche, pourquoi ?

petit piège logique dans lequel je suis tombé à pieds joints.
Je suis resté bêtement bloqué en essayant de faire le même
changement de variable à droite et à gauche.

merci

--
Yves Kuhry