Exponentielle

[Bertrand Hamant]

Bonjour, je m'amusais à faire cet exercice sur les exponentielles, mais je me suis arrêté à la partie A car je n'ai pas vu encore les primitives. J'aimerais savoir si ma résultats sont cohérents.

On considère la fonction f définie sur [0 ; + 00 [


f(x) = (1/x²)*e(-1/x) pour x > 0 avec f(0) = 0


1) lim f(x) quand x tend 0+

j'ai fait un changement de variable en posant X = -1/x d'où X² = 1/x²

lim X = - 00 quand x tend vers 0+ d'où par composition lim eX = - 00 quand x tend vers 0

lim X² = + 00 quand x tend vers 0+ donc f(x) = eX*X² , or a l'infinie l'expo l'emporte sur tout polynome d'où lim f(x) = 0 quand x tend vers 0+

On en déduit que f est continue et dérivable en 0.


f'(x) = e(-1/x)[ (1-2x)/(x^4)] f'(x) > 0 <----> x > 1/2

f croissante de [ 0 ; 1/2 ] et décroissante [1/2 ; + 00 [

lim f(x) = 0 quand x tend vers +00

3) Ecrire une équation de la tangente à la courbe Cf au point d'abcisse x0

y = f ' ( x0 ) ( x - x0 ) + f ( x0 )

f'(0) , c'est bizarre, je pense trouver 0, donc y = 0

4) Déterminer X0 pour que T passe l'origine.

Je suis un bloqué merci de votre aide

[El_Gato]

L'équation de la tangente est du type y=ax +b

Elle passe par l'origine quand b = 0 ce qui donne ici:
.

Tu injectes là-dedans les valeurs de f et f', tu simplifies par qui n'est jamais nul, et tu tombes sur une équation pas méchante à résoudre.

[Bertrand Hamant]

les précédantes questions sont bonnes ??

[Mikou]

1°) tu peux conclure en utilisant cela puis changement de variable
Quant au fait de f est derivable en 0 tu ne fais pas de demo, le fait que f soit continue en 0 ne suffit pas, par contre le fait que lassure. Le reste semble juste.

[Bertrand Hamant]

Oui effectivement, si tu as regardé plus haut, la limite de f(x) lorsque x tend vers 0+ vaut 0, donc par définiton, on en déduit que f est continue et comme sa limite au point 0 vaut 0, alors elle est dérivable, on est bien d'accord sur ce point ?

Ensuite il me demande d'écrire une équation de la Tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse X0.

donc par définition y = f ' (x0) (x - x0) + f(x0)

là je reste bloqué

ensuite il veulent que je détermine ce X0 pour que la tangante passe par l'origine du repère, soit donc y = ax

[Mikou]

Je ne suis pas daccord, par exemple considere la fonction definie sur malgres cela f n'est pas derivable en 0

[Bertrand Hamant]

je suis d'accord mais je te parle de mon exercice, dans ce cas la fonction f est dérivable en 0, nous somme bien d'accord là ?

[Mikou]

'On en déduit que f est continue et dérivable en 0' je sais de quoi tu deduis que f continue mais de quoi deduis tu qu'elle est derivable ?

NB : mon 200 iem message :ptdr:

[Bertrand Hamant]

f est dérivable en 0, car elle admet une limite finie qui faut 0. on est d'accord, pourquoi tu ne réponds pas simplement à ma question, elle est simple, je te dis que f est dérivable en 0, et tu ne réponds pas directement.



pour la suite je trouve X0 = 1 etes vous d'accord ?

[Bertrand Hamant]

donc l'équation tangente est du type y = -(e-1)(x)


est ce juste je doute de cette équation qui n'est pas comme d'habitude

[Mikou]

c'est totalement faux ! f n'est pas derivable car elle admet une limite finie en 0

[Bertrand Hamant]

je ne comprends pas, les conditions de l'exercice précisent que f(0)=0, de plus lim f(x) = 0 quand x tend vers 0, de plus le taux d'accroissement vaut 0


donc f est continue et elle n'est pas dérivable.


pour l'équation tangente c correcte y = -(e-1)(x)

[Bertrand Hamant]

est ce que Mikou ou une autre personne aurait juste l'amabilité de me confirmer que f est dérivable et que l'équation de la tangente y = -(e-1)(x)


je suis pourtant poli et pas agressif mais je ressens que j'importune Mikou, donc si tu ne veux pas réponder, rien ne t'oblige, mais il y a d'autres personnes comme el gato qui pourrait me confimer mes calculs

[tigri]

bonjour ! voici mon grain de sel!

f est bien continue en 0

f est dérivable en 0 (à droite, ici) si la fraction [f(x)-f(0)]/(x-0) a une limite finie qd x tend vers0

or c'est f(x)/x c'est à dire (1/x^3)*e(-1/x), qui, avec la technique précédemment utilisée tend vers 0, donc f est dérivable en 0 : axe des x pour demi-tangente à droite au point O

[El_Gato]

f est dérivable pour x >0. En 0 , f est dérivable à droite. Il suffit d'étudier la limite du rapport f(x)/x quand x >0 tend vers 0 et on trouve 0.

Une autre façon de le prouver, si tu connais le théorème des accroissements finis, est de noter que [TEX] \lim_{x \rightarrow 0+} f'(x) = 0[\TEX], mais je ne sais pas si ce théorème est au programme.

Pour la tangante, c'est quoi la question exactement ? Dépèches-toi pour répondre je dois aller à la piscine.

[Bertrand Hamant]

Merci j'avais bien précisé dans l'énoncé x>0. D'autre part, es tu d'accord que y = -(e-1)(x) pour les deux dernières questions ?

[Bertrand Hamant]

Merci tigri de ta confirmation.

[tigri]

donc l'équation de la tangente au point (1,f(1)) est
y= f'(1)* (x-1) + f(1) avec f(1)=e^(-1) et f'(1) = - e^(-1)
il suffit de remplacer (sauf erreur !)

[Bertrand Hamant]

en effet ce qui fait y = -(e-1) ( x )

merci tigri

[tigri]

je pense qu'il y a une erreur car:
pour trouver l'abscisse telle que la tangente au point correspondant passe par l'origine, il faut chercher x tel que :
0 = f'(x) (-x) + f(x)
donc en factorisant (1/x²)e^(-1/x) on trouve comme autre facteur
1-[(1-2x)/x] c'est à dire (3x-1)/x qui s'annule pour 1/3 et pas pour 1
donc l'équation de la tangente est
y = f'(1/3)*(x-1/3) + f(1/3) et moi, j'aboutis à
y=27x e^(-1/3), qui pour x=0 donne bien 0


avec x=1, on arrive à y= (2-x) e^(-1) ce qui ne marche pas