Exponentielle de base a

[perle]

Bonjour!
Je suis en Tle S et j'ai tenté (vainement) de faire un exercice sur les exponentielles de base a mais il est quelque peu difficile :hum: (3 étoiles, soit le maximun de la difficulté...) J'aurais besoin de quelques lumières qui pourrait m'aider :id: merci d'avance ^^

voici l'exercice :

on pose f(x) = (1+x)^(1/x) sur ]0; + infini[

1) on nous demande les variations de la fonction auxillaire
v(x) = x-(x+1)ln(x+1) sur ]0; + infini[

je trouve que v'(x) = - ln(x+1)
elle est décroissante sur son intervalle et je trouve que lim v(x) = 0 en quand
x-> 0
pour la limite en + infini je tombe à chaque fois sur une forme indéterminée (j'ai essayé le changement de variable X=(x+1) mais toujours rien) pourtant je sais bien que ça tend vers - infini ( :zen: bennie soir les calculatrices graphique)
Si quelqu'un pourrait m'expliquer comment faire pour m'en sortir avec cette première question...


2) étude de la fontion f :

on demande la dérivée de f puis ses variations et ses limites...
Là c'est le flou le plus total...
J'ai vaguement trouvé que f(x) = exp[(1/x)ln(1+x)] en utilisant les exp de base a
Mais ça m'avance pas vraiment...
Si on pourrait me mettre sur la voie...

Merci pour vos réponses.
Perle

[La Boule]

Pour ta première question, developpe le tout puis factorise par x et n'oublie pas que les limites de type l'infini*l'infini ne sont pas indeterminées.

Pour la deuxième tu obtiens quelque chose de la forme e^(u(x))
tu n'as qu'a dériver en sachant que e^(u(x))' = u'(x)*e^(u(x))

[perle]

Merci beaucoup ^^