TS exponentiel et dérivée

[DeltaT]

Bonjour à tous !

Alors voilà, j'ai un problème avec quelques questions d'un exercice sur les exponentiels

Tout d'abord, nous avons la fonction f(x) = (x-1)(2-e^-x)

Il faut calculer f'(x) puis f'(0) et j'ai trouvé f'(x)=(2e^x)-x)/e^x et pour f'(0)=2

Puis il faut calculer f'(x) > 2 et j'ai trouvé -x/e^x>0 mais je ne suis pas sûr de moi

Ensuite il faut calculer f''(x) et j'ai trouvé -e^x+xe^x/ e^2x

Mon gros problème est qu'il faut étudier les variations de f' grâce à f'' ce que j'ai réussi à faire mais ensuite il faut étudier les variations de f sur R. Le problème est que j'ai tracé les trois fonctions sur ma calculatrice pour m'aider mais entre ce qui est tracé dans mon tableau et ce qui est sur ma calculatrice ce n'est pas du tout cohérant :mur:

J'espère que je me suis exprimé assez clairement et que quelqu'un pourra m'aider

Merci :lol3:

[homeya]

Bonsoir,

Je trouve pour la dérivée f'(x) = , donc pas exactement la même chose. Ceci me donne f'(0) = 0. La fonction f est-elle bien f(x) = ?

Cordialement.

[annick]

Bonjour,
je trouve la même dérivée qu'homeya.

[DeltaT]

Bonsoir,

Je trouve pour la dérivée f'(x) = , donc pas exactement la même chose. Ceci me donne f'(0) = 0. La fonction f est-elle bien f(x) = ?

Cordialement.

Oui la fonction est bien celle-là mais j'ai refait la dérivée et je trouve 2+xe^-x, pourtant je dois bien utiliser u'v+uv' pour calculer non ? Je comprend pas où j'ai faux ... Merci de m'avoir aidé !

[homeya]

Il faut effectivement bien utiliser (uv)'. Voici des calculs un peu plus détaillés:
f'(x) = = = .
Est-ce plus clair ?

[DeltaT]

Oui merci j'ai enfin compris d'où venais mon erreur !

J'ai calculé f''(x) et je trouve deux possibilités
e^-x + xe^-x + 2e^-x
et
e^(-2x) + xe^-x - 2e^-x + 2e^(-2x) + e^-x

Laquelle des deux est la bonne ? Et je n'arrive pas à réduire la deuxième ...

[homeya]

Au signe près, la première expression est la bonne: f''(x) = e^-x - xe^-x + 2e^-x.
On peut regrouper e^-x et 2e^-x pour obtenir: f''(x) = (3-x)e^-x.

[DeltaT]

Au signe près, la première expression est la bonne: f''(x) = e^-x - xe^-x + 2e^-x.

Merci de m'avoir corrigé mais je ne comprend pas pourquoi c'est -xe^-x et pas xe^-x ?

Ensuite je dois calculer f'(x) > 2 et je suis bloqué à xe^-x - 2e^-x > 0, comment je peux faire pour m'en sortir ?

[Carpate]

Merci de m'avoir corrigé mais je ne comprend pas pourquoi c'est -xe^-x et pas xe^-x ?

Ensuite je dois calculer f'(x) > 2 et je suis bloqué à xe^-x - 2e^-x > 0, comment je peux faire pour m'en sortir ?

: soit

[homeya]

Et c'est -xe^-x car (xe^-x)' = e^-x - xe^-x (le moins "descend" de e^-x).

[DeltaT]

Merci beaucoup pour votre aide !
Maintenant je dois étudier les variations de f'(x), je dois bien l'étudier grâce à f''(x) pour enfin étudier les variations de f(x) non ?

[homeya]

Oui, effectivement car le signe de f''(x) va déterminer les variations de f'(x). Grâce à l'expression de f''(x) que nous avons obtenue, on peut dire que f''(x) est positive sur ]-;3] puis négative sur [3;+[ et donc f'(x) sera respectivement croissante puis décroissante sur ces intervalles. Le tableau de variations de f'(x) (et son étude complète) est disponible ici: www.lovemaths.fr/etudes/lovemaths-14.pdf (c'est bien la fonction f'(x) qui est étudiée et dont on voit les variations même si le programme du site qui a fait l’étude la nomme f(x)).

[DeltaT]

Merci pour tout !
Et donc pour étudier f(x) je me sert de f'(x) ?!
J'ai pas compris l'intérêt de dériver la dérivée de f(x) pour pouvoir l'étudier ...

[homeya]

Oui, il faut utiliser les variations de f'(x) pour déterminer celle de f(x). Et avant cela, il faut déterminer le signe de f'(x). On voit facilement que f'(0) = 0 donc d’après le tableau de variations de f'(x), cette dernière sera négative sur ]-;0] et positive sur [0;+[. Donc f(x) sera décroissante sur ]-;0] et croissante sur [0;+[. Il ne reste plus qu'à déterminer les limites de f(x) pour compléter le tableau de variations ...

[DeltaT]

Merci beaucoup pour toute l'aide et la patience que vous m'avez apporté, j'ai tout compris et ça m'a vraiment permis d'avancer ! :we:

[homeya]

De rien. Bonne continuation :we: