Exo sur les complexes

[fpaco]

Bonjour, j'aurai besoin d'un peu d'aide sur cette exo

Exercice 5
1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation

sachant qu’elle admet une solution réelle a. On notera b et c les deux autres solutions.

2. Soient A, B, C les images respectives dans le plan complexe des nombres a, b, c.
Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.

Je bloque à la question 1)
Voici ce que j'ai essayé : comme a, b, c sont des racines, on a
On développe et on obtient
Là on peu établir un système mais je n'arrive pas à allez plus loin.

Merci de votre aide.

[hdci]

Bonjour,
Vous pouvez trouver le nombre réel racine : en effet, en remplaçant z par le nombre réel a, on peut facilement isoler partie réelle et partie imaginaire. Or la partie imaginaire est nulle (puisque le tout est nul)... et c'est une équation en a très simple à résoudre.

[Carpate]

l'équation s'écrit :
identité remarquable bien connue :



une racine réelle
deux complexes et racines de
Il reste à calculer b et c ce n'est pas très agréable bien que ne posant pas de problème. Peut-être pourrait-on trouver une astuce pour calculer a - b puis a - c et b - c puis leurs modules ...
on remarque que bc= 4 donc réel arg(bc) =0 mod 2pi donc B et C sont sur des droites symétriques par rapport à l'axe des réels.

[hdci]

@Carpate : cette identité remarquable n'est pas connue au lycée...

C'est pourquoi l'énoncé indique qu'il y a une solution réelle, car la partie imaginaire du polynôme pour [tex]z\in\R[tex] est facile à déterminer.

[Black Jack]

Bonjour,

a³ - (1 - i)a² - (2 - 2i)*a + 8 = 0
a³ - a² - 2a + 8 = 0 (partie réelle = 0) (1)
a² + 2a = 0 (partie imaginaire = 0) (2)

a = 0 ne convient pas pour (1) --> a = -2 par (2)
remis dans (1) --> -8 - 4 + 4 + 8 =? 0 --> OK

Donc la solution réelle est a = -2

z³ - (1-i).z² - (2 - 2i)z + 8 = (z+2)(z-b)(z-c)

z = 0 --> 2bc = 8 ; bc = 4

z = 1 --> 1 - (1-i) - (2-2i) + 8 = 3(1-b)(1-c)
6+3i = 3-3(b+c)+3bc
6+3i = 3-3(b+c)+12
b+c = 3-i

On a donc le système :

b.c = 4
b+c = 3-i

... qui ne pose pas de gros soucis à résoudre.

[Carpate]

@Carpate : cette identité remarquable n'est pas connue au lycée...

On ne vois plus cela. j'espère qu'on connaît a²-b²
On trouve le triangle rectangle isocèle en C