Exo sur fonction variation et continuité

[variobike01]

Bonjour à tous,

Voila j'ai fait l'exo suivant et j'aurais voulu savoir si les résultats que j'ai trouvé sont corrects:

Soit un réel strictement positif.
Déterminer, suivant les valeurs du paramètre , le nombre de solutions dans l'intervalle [0 ; 2 ] de l'équation :



Pour cela, j'ai tout d'abord dérivé la fonction, ce qui me donne:



Par la suite, j'ai dressé le tableau de variations et je trouve comme résultat que:

- Si alors il existe une solution unique

- Si alors il existe deux solutions

- Si alors il existe 1 solution unique


Pourriez vous à partir de ça me dire si mon raisonnement est correct ?

Merci Beaucoup

Rémi

[uztop]

Salut,

pour commencer tu peux remarquer que ce qui simplifie pas mal les calculs.
Est ce que tu as tracé le tableau de variation ? Quelle est la valeur minimale de f ? Quand est ce qu'elle est atteinte ?

[variobike01]

Si je prend en compte ta réponse, alors :

la valeur minimale de la fonction sur [0;2] est atteinte pour
x= et donc on à comme valeur

[uztop]

oui bien sûr, mais combien vaut ?
Si c'est positif, f(x)=0 n'a pas de solutions
Sinon, est ce dans quel cas est ce qu'on va avoir deux solution (pense au théorème des valeurs intermédiaires)

[variobike01]

Hum, mais je trouve ta question assez difficile ^^
En effet comment savoir combien vaut , sachant que celui-ci est variable ?
La je t'avoue que je suis perdu ^^

Je sais juste que d'après mes calculs (et d'ailleurs j'ai fait une erreur) il y a entre une et trois solutions.

Une solution sur [0;\alpha], deux solution si on a =-+et entre les +et- trois solutions ^^. Après pourrais-tu me dire comment tu utilise le théorème des valeurs interdites ?

++

Rémi

[Black Jack]

Montre que f(0) > 0 et f(2a) > 0

Détermine f '(x) pour x > 0 et montre que f(x) a un minimum en x = a (et que f(x) n'a pas d'autres extrema pour x > 0)

Détermine la valeur du min de f(x) qui vaut f(a).

Et en réfléchissant avec ce qui précède, il suffit d'étudier le signe de f(a) en fonction de la valeur de a pour trouver le nombre de solutions de f(x) = 0 sur [0 ; 2a].

Fais un dessin pour comprendre.

:zen:

[variobike01]

Bon alors pour prouver que f(0) > 0 pas de problème car f(0)=2. Par la suite ça se corse
Or est forcement positif donc cette dernière valeur est donc négative ... sauf si est compris entre 0 et 1/2 ...

Alors bonne voie ou pas ? ^^

++
Rémi

[uztop]

oui tu es sur la bonne voie.
Pour avoir des solutions, il faut aussi que

[Black Jack]

Bon alors pour prouver que f(0) > 0 pas de problème car f(0)=2. Par la suite ça se corse
Or est forcement positif donc cette dernière valeur est donc négative ... sauf si est compris entre 0 et 1/2 ...

Alors bonne voie ou pas ? ^^

++
Rémi

Erreur dans le calcul de f(2a)

f(2a) = (2a)³ - 3a²*(2a) + 2 = ...


:zen:

[variobike01]

Black Jack, je suis peut être fou mais je ne vois pas mon erreur dans le calcul ... :marteau:
J'ai cependant une petite idée d'où pourrait provenir mon erreur, je pense que c'est au niveau des puissances :

Je tente donc, qui est donc aussi égal en factorisant à
Merci pour votre aide
++
Rémi

[Black Jack]

Black Jack, je suis peut être fou mais je ne vois pas mon erreur dans le calcul ... :marteau:
J'ai cependant une petite idée d'où pourrait provenir mon erreur, je pense que c'est au niveau des puissances :

Je tente donc, qui est donc aussi égal en factorisant à
Merci pour votre aide
++
Rémi

Un rien d'attention t'éviterait bien des déboires.

f(2a) = (2a)³ - 3a²*(2a) + 2
f(2a) = 8a³ - 6a³ + 2
f(2a) = 2a³ + 2
Et comme a >= 0 ...

:zen:

[variobike01]

Oula , en effet loin du résultat que j'avais trouvé ...
Vu que est forcément positif alors est forcement tout le temps positif...