Exo nombres complexes

[Tir McDohl]

Bonsoir, je planche encore sur un exo sur les nombres complexes, et je ne sais pas comment m'y prendre:

Soi z un nombre complexe tel que |z| 0.

Une piste?

Merci d'avance.

[zygomatique]

salut

[Black Jack]

Tu poses z = x + iy

Z = i(1+x+iy)/(1-x-iy)

Z = i(1+x+iy).(1-x+iy)/[(1-x)²+y²]

On développe ... et tu devrais arriver à Im(Z) = (1-x²-y²)/[(1-x)²+y²]

Et avec |z| <1, on a x²+y² < 1

...

:zen:

[zygomatique]

donc (en notant z* le conjugué de z)




D = (1 - z)(1 - z*) = 1 - (z + z*) + zz* = 1 - 2Re(z) + zz* = 1 - Re(z) + zz* - Re(z) > 0

N = 2 - 2zz* = 2 (1 - zz*) > 0

:ptdr:

[Tir McDohl]

Euh, wow, merci. J'avoue être perdu dans ces transformations zygomatique, j'aurai jamais pensé à une telle démarche seul. Du coup vu mon niveau j'en suis resté à la méthode de Black Jack et j'ai développé pour en arriver au même résultat que lui mais après ça je suis plus trop sûr...

je dirais que si x²+y²<1 alors -(x²+y²)<-1 donc -(x²+y²)+1>0?
et que du coup -x²<-1 ce qui fait que (1-x²)>0 soit (1-x²)+y²>0?
C'est ce qu'ils demandent?

[Black Jack]

Euh, wow, merci. J'avoue être perdu dans ces transformations zygomatique, j'aurai jamais pensé à une telle démarche seul. Du coup vu mon niveau j'en suis resté à la méthode de Black Jack et j'ai développé pour en arriver au même résultat que lui mais après ça je suis plus trop sûr...

je dirais que si x²+y²0?
et que du coup -x²0 soit (1-x²)+y²>0?
C'est ce qu'ils demandent?

Im(Z) = (1-x²-y²)/[(1-x)²+y²]

Et avec |z| (1 - x²-y²) 0 (somme de 2 carrés non nulle puisque x = 1 est interdit par |z| Im(Z) < 0

:zen:

[zygomatique]

Euh, wow, merci. J'avoue être perdu dans ces transformations zygomatique, j'aurai jamais pensé à une telle démarche seul. Du coup vu mon niveau j'en suis resté à la méthode de Black Jack et j'ai développé pour en arriver au même résultat que lui mais après ça je suis plus trop sûr...

je dirais que si x²+y²0?
et que du coup -x²0 soit (1-x²)+y²>0?
C'est ce qu'ils demandent?

tout complexe s'écrit z = a + ib = Re(z) + iIm(z)

donc la première chose qu'on apprend en découvrant les complexes c'est que

2Re(z) = z + z*
2iIm(z) = z - z*

il est alors inutile voire superflu de passer par la forme algébrique .... du moins dans un premier temps (je passe éventuellement à la forme algébrique à la dernière étape ... pour conclure)

et surtout ce travail permet de s'approprier réellement les nombres complexes ... et leur propriétés ...

ainsi je n'ai pas justifié la positivité des deux dernières expressions que je te laisse en exercice (et qui utilise justement les propriétés des complexes et les hypothèses de l'énoncé bien sur)


à Black Jack :: il y a une erreur dans ta conclusion (d'attention je suppose) Im(Z) > 0 (d'ailleurs c'est ce que demande l'énoncé) ....

[Carpate]

tout complexe s'écrit z = a + ib = Re(z) + iIm(z)

donc la première chose qu'on apprend en découvrant les complexes c'est que

2Re(z) = z + z*
2iIm(z) = z - z*

il est alors inutile voire superflu de passer par la forme algébrique .... du moins dans un premier temps (je passe éventuellement à la forme algébrique à la dernière étape ... pour conclure)

et surtout ce travail permet de s'approprier réellement les nombres complexes ... et leur propriétés ...

ainsi je n'ai pas justifié la positivité des deux dernières expressions que je te laisse en exercice (et qui utilise justement les propriétés des complexes et les hypothèses de l'énoncé bien sur)


à Black Jack :: il y a une erreur dans ta conclusion (d'attention je suppose) Im(Z) > 0 (d'ailleurs c'est ce que demande l'énoncé) ....

Et si on veut être complet :

[zygomatique]

il y a une erreur ::



....

[Carpate]

il y a une erreur ::



....

Très juste, avec mes excuses !

[Carpate]

il y a une erreur ::



....

Très juste, merci pour cette rectification !

[Black Jack]

tout complexe s'écrit z = a + ib = Re(z) + iIm(z)

donc la première chose qu'on apprend en découvrant les complexes c'est que

2Re(z) = z + z*
2iIm(z) = z - z*

il est alors inutile voire superflu de passer par la forme algébrique .... du moins dans un premier temps (je passe éventuellement à la forme algébrique à la dernière étape ... pour conclure)

et surtout ce travail permet de s'approprier réellement les nombres complexes ... et leur propriétés ...

ainsi je n'ai pas justifié la positivité des deux dernières expressions que je te laisse en exercice (et qui utilise justement les propriétés des complexes et les hypothèses de l'énoncé bien sur)


à Black Jack :: il y a une erreur dans ta conclusion (d'attention je suppose) Im(Z) > 0 (d'ailleurs c'est ce que demande l'énoncé) ....

Oui, il fallait lire :

Im(Z) = (1-x²-y²)/[(1-x)²+y²]

Et avec |z| (1 - x²-y²) > 0
et comme (1-x)²+y² > 0 (somme de 2 carrés non nulle puisque x = 1 est interdit par |z| Im(Z) > 0

:zen:

[Tir McDohl]

En fait zigomatique je ne comprenais pas d'où tu avais l'idée de partir de 2iIm(z) (pourquoi pas 3 ou 6 lol), MAIS là je vois qu'avec les trois transformations de base on risque toujours de tomber sur ce type d'expressions donc ça s 'éclaircit un peu oui. Je vais essayer de continuer ce soir après quelques autres trucs que je dois faire.

[mathelot]

bonjour,
il y a un ensemble ("sous groupe") stable par multiplicaton habituelle :TEX]\{-1,+1\}[/TEX] qui est
plus 'simple' que le groupe (=cercle des complexes de module 1) .

Les éléments du cercle sont stable par conjugaison .

Seulement si , et de module1, les deux affixes ont le même sinus.

mots-clés: racines n-ième de l'unité,De Moivre, conjugaison, z^n=1,poynomes cyclotomiques

Un certain nombre de polynymes sont liés au cercle et à sa mesure de Lie(??!!)


-Bernoulli,
-Legendre
-Tchebyshef
-Polynomes cyclotomique

voire même l'équation du lemniscate



qui ne cesse de me fasciner,

je comprends pas commet une divisision dans un anneau de polynome peut provovoquer de la 'circularité'

[paquito]

=

Peine perdue! l'énoncé est faux: exemple donc.

Ce qui est vrai, 'est a le même signe que

Sinon provoque bien de la circularité! et il y en a d'autres!

[Black Jack]

=

Peine perdue! l'énoncé est faux: exemple donc.

Ce qui est vrai, 'est a le même signe que

Sinon provoque bien de la circularité! et il y en a d'autres!

Mais non, l'énoncé n'est pas faux.

L'énoncé précise : Soit z un nombre complexe tel que |z|<1 ...

Et il me semble bien que pour z = -2, on n'a pas |z| < 1

:zen: