Exo 1er s

[alexandre b.]

Salut
J' ai du mal sur un exercice qu' on a a faire pour la rentrée
Si quelq' un pourrait m' éclairer !
L enoncé est:

Existe t-il un polynome f(x) du second degré verifiant simultanement les 3 conditions suivantes:
-pour tout reel x, f(x)=(x-2)g(x)
-pour tout reel x, f(x)=(x+1)h(x)
-pour tout reel x, f(x)=(x-1)k(x)+5
Ou g(x),h(x) et k(x) sont 3 polynomes?

Merci d' avance

[Timothé Lefebvre]

Bonjour,

et ta question ?

[alexandre b.]

ben mon enoncé est la question,en tout cas il n' y a que ça...
J ' ai du mal a comprendre ce qu' il faut faire

[Timothé Lefebvre]

Sans doute déterminer les polynômes g, h et k ...

[Ericovitchi]

Il faut que tu réfléchisses un peu avant de te lancer dans les calculs. Tu n'as pas vraiment besoin de trouver g,h,k , on te demande seulement si f existe.

Si
f(x)=(x-2)g(x)
f(x)=(x+1)h(x)
tu vois que x=2 et x=-1 seront des racines de ton polynôme
Comme il est du second degré quelle forme générale peut-il avoir ce polynôme ?

Et la dernière équation f(x)=(x-1)k(x)+5 va te permettre de lever la dernière incertitude sur ton polynôme.

[alexandre b.]

desolé ta reponse ne m' avance pas
merci quand meme

[Ericovitchi]

Bon alors j'explique mieux :
dans f(x)=(x-2)g(x)
f(x)=(x+1)h(x)

si on fait x=2 dans la première équation on voit que f(2)=0
et si on fait x=-1 dans la seconde alors f(-1)=0

Donc 2 et -1 sont racines du polynôme du second degré que l'on cherche. Mais un polynôme qui a pour racine a et b s'écrit k(x-a)(x-b)

Donc le polynôme que l'on cherche a la forme k(x-2)(x+1)
Il est presque déterminé, mais il faut trouver k.

C'est la 3 ième équation qui va nous donner k.

Est-ce que tu comprends mieux ?

[alexandre b.]

Oui merci beaucoup