Il existe f(x) tel que f’(x)=f(x)

[ortollj]

Bonjour
Je cherchais une démonstration de( e^x)’=e^x, et je suis tombé sur
http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/TS/expoln/TSExpo_dem.PDF
mais la phrase ci-dessous me gene
L'existence d'une fonction f(x) vérifiant les conditions f’(x)=f(x) et f(0)=1 est admise.
Comment démontre-t-on cela ?

[leon1789]

Théorème de Cauchy-Lipschitz (existence et unicité de la solution), mais ce n'est pas du niveau lycée !
Il existe probablement une preuve plus élémentaire adaptée à f' = f et f(0)=1

[Max1994]

Pour f(0) = 1 c'est simplement la démonstration de x^0 = 1

[leon1789]

Pour f(0) = 1 c'est simplement la démonstration de x^0 = 1

je ne comprends pas votre ligne :hein:
-- vous proposez une démonstration de l'hypothèse f(0) = 1 en utilisant x^0 = 1 (pour tout x réel non nul) ?
-- ou bien vous considérez que x^0 = 1 (pour tout x réel non nul) est une conséquence de l'existence de la fonction exponentielle ?

[vincentroumezy]

Je crois me souvenir qu'on peut la construire grâce à la méthode d'Euler.

[Joker62]

La méthode d'Euler permet d'avoir un aperçu de la représentation graphique.

Le fait qu'il existe bel et bien une fonction f qui vérifie f' = f et f(0) = 1 n'est évidemment pas du niveau lycée.

[Skullkid]

Bonjour, sans utiliser Cauchy-Lipschitz on peut exhiber une solution développable en série entière (qui se trouvera d'ailleurs être l'exponentielle). Ça n'est toujours pas niveau lycée, mais on peut le présenter de façon "relativement accessible" via l'étude des sommes partielles.

[busard_des_roseaux]

bonjour,

on étudie la suite à x fixé.
On montre qu'elle est convergente vers une limite f(x)

on pose f(x)=exp(x)
On montre ensuite que la proximité du polynome
et de cette fonction f est uniforme sur les intervalles fermés bornés.

Comme

[Joker62]

Et tu fais tout ça en Terminale ?

[ortollj]

Et tu fais tout ça en Terminale ?

Bonjour
Dans le document
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/NAM/NAM_1848_1_7_/NAM_1848_1_7__30_0/NAM_1848_1_7__30_0.pdf
Emile Brassine fait reference au tome 5 Page 280 d’une demonstration de (1+a)^(1/a)=e
Quand a --> 0
Par un procédé « aussi simple que possible »
J’ai cherché sur
http://www.numdam.org/numdam-bin/search
en tapant « Liouville » comme auteur , et « Nouvelles Annales de Mathematiques » comme journal.
Je ne trouve que le tome 13 !. quelqu’un connait cette démonstration ?
Etrangement sur ce site on ne peut rechercher par numero de tome .
Bonjour l’algorithme de recherche , c’est les cordonniers les plus mal chaussés !

[ortollj]

Bonjour
Dans le document
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/NAM/NAM_1848_1_7_/NAM_1848_1_7__30_0/NAM_1848_1_7__30_0.pdf
Emile Brassine fait reference au tome 5 Page 280 d’une demonstration de (1+a)^(1/a)=e
Quand a --> 0
Par un procédé « aussi simple que possible »
J’ai cherché sur
http://www.numdam.org/numdam-bin/search
en tapant « Liouville » comme auteur , et « Nouvelles Annales de Mathematiques » comme journal.
Je ne trouve que le tome 13 !. quelqu’un connait cette démonstration ?
Etrangement sur ce site on ne peut rechercher par numero de tome .
Bonjour l’algorithme de recherche , c’est les cordonniers les plus mal chaussés !

j'ai fini par trouver l'article ici:
http://portail.mathdoc.fr/JMPA/feuilleter.php?id=JMPA_1840_1_5
[HTML]Liouville, J.
Sur la limite de $(1 + 1/m)^m$, $m$ étant un entier positif qui croît indéfiniment.
Pages 280 - PDF : (copie locale) | (Gallica)[/HTML]
c'est beau internet, comment on faisait sans ?