Nombres complexes détermination de z tel que Z soit un réel

[patou47]

Bonsoir, un exercice de maths me pose de gros problèmes voici son énoncé:soit z=x+iy un nombre complexe, avec x et y réels. Déterminer, dans chaque cas tous les nombres complexes z tels que Z est réels.
Je précise que je n'ai seulement a ma disposition Z est un réel ssi Im(Z)=0 (car je n'ai pas encore vu les autres propriétés avec Z barre).
Voici celle qui me pose problème:
Z=z²/(z+2i)
Mon raisonnement: j'écrit Z sous sa forme algébrique (en fonction de x et y deux réels) et je dit que Z est réels ssi Im(Z)=0 et je résous l'équation j'ai donc bien tous les x et y tels que Z soit un réel et donc tous les z.
Mais celle ci est très complexe au niveau des calculs, après avoir remplacé z par x+iy, multiplié par la forme conjuguée puis développé j'arrive à:
Z=(x^3+2y²x-y²x+4yx)/(x²+y²+4y-4)+i*(-2x²+yx²+y^3+2y²)/(x²+y²+4y-4)
ainsi Z est un réel équivaut à (-2x²+yx²+y^3+2y²)/(x²+y²+4y-4)=0 équivaut à -2x²+yx²+y^3+2y²=0 avec x²+y²+4y-4 différent de 0 mais je n'arrive pas du tout à résoudre -2x²+yx²+y^3+2y²=0 (normal à mon avis puisque c'est une équation du troisième degrés à 2 inconnue :s).
Quelqu'un pourrait il m'aider? Merci d'avance, bonne soirée :).

[Manny06]

Bonsoir, un exercice de maths me pose de gros problèmes voici son énoncé:soit z=x+iy un nombre complexe, avec x et y réels. Déterminer, dans chaque cas tous les nombres complexes z tels que Z est réels.
Je précise que je n'ai seulement a ma disposition Z est un réel ssi Im(Z)=0 (car je n'ai pas encore vu les autres propriétés avec Z barre).
Voici celle qui me pose problème:
Z=z²/(z+2i)
Mon raisonnement: j'écrit Z sous sa forme algébrique (en fonction de x et y deux réels) et je dit que Z est réels ssi Im(Z)=0 et je résous l'équation j'ai donc bien tous les x et y tels que Z soit un réel et donc tous les z.
Mais celle ci est très complexe au niveau des calculs, après avoir remplacé z par x+iy, multiplié par la forme conjuguée puis développé j'arrive à:
Z=(x^3+2y²x-y²x+4yx)/(x²+y²+4y-4)+i*(-2x²+yx²+y^3+2y²)/(x²+y²+4y-4)
ainsi Z est un réel équivaut à (-2x²+yx²+y^3+2y²)/(x²+y²+4y-4)=0 équivaut à -2x²+yx²+y^3+2y²=0 avec x²+y²+4y-4 différent de 0 mais je n'arrive pas du tout à résoudre -2x²+yx²+y^3+2y²=0 (normal à mon avis puisque c'est une équation du troisième degrés à 2 inconnue :s).
Quelqu'un pourrait il m'aider? Merci d'avance, bonne soirée .

ton polynome s'annule pour y=x tu peux donc mettre (y-x) en facteur

[chan79]

2x²+yx²+y^3+2y²=0 (normal à mon avis puisque c'est une équation du troisième degrés à 2 inconnue :s).
Quelqu'un pourrait il m'aider? Merci d'avance, bonne soirée .

Salut
tu tombes sur l'équation d'une belle strophoïde, hors programme lycée...
tes calculs sont bons
vérifie le texte
à noter que dès le départ, il faut exclure la valeur -2i, pour laquelle Z n'est pas définie
A+
http://imageshack.us/photo/my-images/443/bouclew.png/

[patou47]

Bonjour merci pour votre réponse :). Effectivement j'ai bien utiliser le quantifiant suivant pour exprimer la forme algébrique de Z: pour tout z appartenant à C\2i. Après j'ai citer toutes la consigne de l'exercice :
"soit z=x+iy un nombre complexe, avec x et y réels. Déterminer, dans chaque cas tous les nombres complexes z tels que Z est réels." donc je n'ai aucune informations de plus donnée par le texte :s.
Est-ce dure à résoudre l'équation d'une strophoïde ?
Encore merci, bonne journée ;).

[chan79]

Bonjour merci pour votre réponse . Effectivement j'ai bien utiliser le quantifiant suivant pour exprimer la forme algébrique de Z: pour tout z appartenant à C\2i. Après j'ai citer toutes la consigne de l'exercice :
"soit z=x+iy un nombre complexe, avec x et y réels. Déterminer, dans chaque cas tous les nombres complexes z tels que Z est réels." donc je n'ai aucune informations de plus donnée par le texte :s.
Est-ce dure à résoudre l'équation d'une strophoïde ?
Encore merci, bonne journée .

tu connais geogebra ?
si oui, tape simplement l'équation dans la fenêtre de saisie en bas
sinon tu peux retrouver l'équation cartésienne de la strophoïde droite à cette adresse
http://www.mathcurve.com/courbes2d/strophoiddroite/strophoiddroite.shtml
il faut permuter x et y et prendre a=-2 je crois
mais je répète qu'on est hors programme lycée...
A+

[patou47]

Ok je vais essayer tout sa merci beaucoup :).

[patou47]

Sur le site que vous m'avez donné l'équation cartésienne est : x(x²+y² )=a(x²-y²)
Or o je tombe sur une équation du type: y(x²+y²)=2(x²-y²)
ce qui me pose des problème pour déterminer y.

[chan79]

Sur le site que vous m'avez donné l'équation cartésienne est : x(x²+y² )=a(x²-y²)
Or o je tombe sur une équation du type: y(x²+y²)=2(x²-y²)
ce qui me pose des problème pour déterminer y.

Partons de x(x²+y²)=a(x²-y²)
Si je permute x et y (ce qui revient à échanger les axes ox et oy) et si je remplace a par -2, ça donne
y(y²+x²)=-2(y²-x²)
y³+yx²+2y²-2x²=0
et c'est bien ton résultat
en fait, il n'a rien à faire de plus
on te demande de déterminer des nombres complexes; ce sont ceux qui correspondent aux points de cette strophoïde (sauf le point (0,-2) qui correspond au nombre complexe -2i )
peut-être y a-t-il eu une erreur de texte
tiens moi au courant de la suite
A+

[patou47]

Partons de x(x²+y²)=a(x²-y²)
Si je permute x et y (ce qui revient à échanger les axes ox et oy) et si je remplace a par -2, ça donne
y(y²+x²)=-2(y²-x²)
y³+yx²+2y²-2x²=0
et c'est bien ton résultat
en fait, il n'a rien à faire de plus
on te demande de déterminer des nombres complexes; ce sont ceux qui correspondent aux points de cette strophoïde (sauf le point (0,-2) qui correspond au nombre complexe -2i )
peut-être y a-t-il eu une erreur de texte
tiens moi au courant de la suite
A+

A t'on le droit de permuter comme sa x et y ? Effectivement nous avons corriger cette exercice aujourd'hui on arrive bien à la forme suivante : y³+yx²+2y²-2x²=0 mais notre prof nous a bien que l'on ne pouvais pas conclure (effectivement comme nous n'avons pas encore vu les strophoïdes que Z soit un réel ssi z appartient à la strophoïde excluant le point (0;-2) ne nous dit rien) d’ailleurs comment une strophoïde est elle définit ( comme pour le cercle avec un centre et un rayon?).
Merci beaucoup pour toute votre aide. Bonne soirée .

[chan79]

A t'on le droit de permuter comme sa x et y ? Effectivement nous avons corriger cette exercice aujourd'hui on arrive bien à la forme suivante : y³+yx²+2y²-2x²=0 mais notre prof nous a bien que l'on ne pouvais pas conclure (effectivement comme nous n'avons pas encore vu les strophoïdes que Z soit un réel ssi z appartient à la strophoïde excluant le point (0;-2) ne nous dit rien) d’ailleurs comment une strophoïde est elle définit ( comme pour le cercle avec un centre et un rayon?).
Merci beaucoup pour toute votre aide. Bonne soirée .

Bonsoir
La strophoide peut être définie de plusieurs façons mais c'est plus compliqué que pour un cercle.
C'est le lieu de points quand une droite tourne; je n'insiste pas; tu peux regarder l'animation. Pour animer, il faut cliquer tout en bas à gauche sur le bouton marche (le triangle)
http://dl.dropbox.com/u/15276970/strophoide.html
Sinon, quand tu inverses x et y dans une équation tu passes d'une courbe à sa symétrique par rapport à la première bissectrice (y=x)
je te donne un exemple simple
soit la courbe y=
si je permute j'ai x= soit x²=y ou y=x² et on a la branche de parabole symétrique
Tu peux voir ci-dessous ce qui se passe pour la courbe quand on permute x et y
Pour chaque courbe, l'équation est en dessous
Encore une fois, on est hors programme lycée
[img][IMG]http://img839.imageshack.us/img839/3379/stro2.png[/img][/IMG]



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[patou47]

Merci beaucoup pour toutes ces informations et ces exemples très clairs.
PS: Je suis désolée de ne pas avoir pu répondre avant mais avec les intempérie ma ligne été coupée.
Bonne journée :).

[chan79]

Merci beaucoup pour toutes ces informations et ces exemples très clairs.
PS: Je suis désolée de ne pas avoir pu répondre avant mais avec les intempérie ma ligne été coupée.
Bonne journée .

Pas de problème
Bonne journée à toi aussi