Exercice Vraiment Chaud

[lapierre43]

donc voila un nouvele exercice je comprend pas du tout le commencement, ce que je dois faire quoi ... pouvez vous m'aider svp

exercice: somme des carrés d'entiers consécutifs

1°) déterminez le polynome P de degré 3 tel que pour tout réel x, P (x+1)-P(x)
= x² et P(1) = 0.

2°) démontrez que pour tout entier n plus grand ou égal a 1
1²+2²+...+n² = P(n+1)

3°) en déduire que
1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1) / 6

4°) en déduire la somme des carrés des:
10 premiers entiers supérieurs ou égaux a 1
100 premiers entiers supérieurs ou égaux a 1

Voila déja la première question je comprends pas pouvez vous m'aider svp ??

:triste:

[Noemi]

déterminez le polynome P de degré 3 tel que pour tout réel x, P (x+1)-P(x)
= x² et P(1) = 0.

Polynôme de degré 3 : P(x) = ax^3+bx^2+cx+d
Soit P(x+1) = a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d
Ensuite tu calcules P(x+1)-P(x)

[lapierre43]

Soit P(x+1) = a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d
Ensuite tu calcules P(x+1)-P(x)

je dois donc développer dabord P(x+1) ?
mais j'arrive pas à comprendre comment le développer ?

[Noemi]

P(x+1) = a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d
P(x+1) = a(x^3+3x^2+3x+1)+b(x^2+2x+1)+c(x+1)+d
P(x) = a^3+bx^2+cx+d
P(x+1)-P(x) = 3ax^2+3ax+a+2bx+b+c
= 3ax^2+x(3a+2b)+a+b+c
qui doit être égal à x^2
Soit 3a = 1 ; 3a+2b = 0 et a+b+c = 0

De Plus P(1) = 0 ; soit a+b+c+d = 0

Il te reste à chercher les valeurs de a, b, c et d

[lapierre43]

oula sa on l'a pas apprit lol tu pourais me dire comment tu fais et me les trouver car nous on l'a pa encore vu ...

j'arrive pas a comprendre commen tu peux déterminer a b c d faut que tu te réfère a quel fonction ? P(x) ? mais alors il faut trouver les coefficients mais comment on fait ?

[lapierre43]

a oui alors attends j'ai une réponse dis moi si c'est juste

a= 1
b= -3/2
c=-5/2
d= ?
je sais pas çà doit pas etre çà en fait lol je nage complet sur ce truc je sais pas comment on trouve a b c et d ...

[Noemi]

C'est pas complique :
de 3a = 1 tu déduis a = 1/3
de 3a+2b = 0 ; tu déduis 1 + 2b = 0, soit b = -1/2

de a+b+c = 0 tu déduis : 1/3 - 1/2 + c = 0 ; soit c = 1/6
et a+b+c+d = 0 tu déduis d = 0

Soit P(x) = x^3/3 - x^2/2 +x/6

[Noemi]

C'est pas compliqué :
de 3a = 1 tu déduis a = 1/3
de 3a+2b = 0 ; tu déduis 1 + 2b = 0, soit b = -1/2

de a+b+c = 0 tu déduis : 1/3 - 1/2 + c = 0 ; soit c = 1/6
et a+b+c+d = 0 tu déduis d = 0

Soit P(x) = x^3/3 - x^2/2 +x/6

[Taupin sur Lyon]

Tu obtiens les 4 équations suivantes d'après Noemi...

3a = 1
3a+2b = 0
a+b+c = 0
a+b+c+d = 0

La première te donne a ! Tu reportes ton résultat dans la seconde... Tu trouves b... et tu recommences pour la troisième !

C'est la méthode du pivot de Gauss

[lapierre43]

aa dacord merci et donc P(x) sera une fraction avec 4 membres "divisionés" ?
il n'y a pas moyen de rendre çà plus simple non je sais pas lol ^^

[lapierre43]

mon prof m'a encore jamais donner de fonction comme çà c'est pour çà que j'ai un doute on peut pas la mettre sur une seule ligne sans dénominateur ??

[Noemi]

Tu peux écrire P(x) = (2x^3-3x^2+1)/6

[Noemi]

Tu peux écrire P(x) = (2x^3-3x^2+x)/6 ou 1/6(2x^3-3x^2+x)

[lapierre43]

aaahhh daccord merci beaucoup çà au moin j'ai compris

2°) démontrez que pour tout entier n plus grand ou égal a 1
1²+2²+...+n² = P(n+1)
la par contre on la pas encore fais donc je sais pas faire vous pouvez me dire comment on fais ? je nage trop sur cet exercice :s

[Noemi]

De P(x+1) -P(x) = x^2
Tu déduis
si x = 1 ; P(2)-P(1) = 1
si x = 2 ; P(3)-P(2)= 2^2
.......
si x = n-1 ; P(n) -P(n-1) = (n-1)^1
si x = n ; P(n+1)-P(n) = n^2

Si on additionne membre à membre :
On obtient P(n+1) -P(1) = 1^2+2^2 + ...+n^2 comme P(1) = 0
P(n+1) = 1^2+2^2 + ...+n^2

[lapierre43]

haaa oué daccord dis donc j'an aurai apris aujourd'hui en maths ...

[lapierre43]

3°) en déduire que
1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1) / 6

la il faut que je fasse comment ? car avec tout ces facteurs plus un dénominateur je suis perdu lol

[lapierre43]

alors j'ai éssayé de développer

çà me donne au final ( 2n^3 + 3n² + n )/6

çà sert a rien ce que j'ai fais non lol ?

[Noemi]

Il faut exprimer P(n+1) en fonction de n
P(n+1) = 1/6[2(n+1)^3-3(n+1)^2+(n+1)]
Tu développes

Puis tu développes aussi 1/6 n(n+1)(2n+1)

[lapierre43]

Il faut exprimer P(n+1) en fonction de n
P(n+1) = 1/6[2(n+1)^3-3(n+1)^2+(n+1)]
Tu développes

dc çà me fera:

P(n+1) = 1/6 [ 2 ( n^3 + .....
voila la déja je y arrive plus a développer ....

????