Exercice type question ouverte

[Oppo]

Bonjour a tous
Je suis en terminale et j'aimerais que vous m'aidiez à résoudre cet exercice :

Un tonneau de vin contient 228 L de vin auquel on ne donne pas un accès aisé. Cependant, on prélève discrètement chaque matin 1 L de ce tonneau que l'on remplace subrepticement par 1 L d'eau.
A partir de quel jour boit-on plus d'eau que de vin ?

J'avais pensé à une équation différentielle mais je ne suis pas sûr...
Merci d'avance pour votre aide

[maturin]

ben un équation différentielle c'est quand tu travaille avec des fonctions sur R.

La tu travailles avec une unité de temps qui est le jour donc ça revient à travailler avec des valeurs entieres.

Il faudra donc utiliser une suite définie par récurence.
Si tu appelles Un le taux de vin au jour n exprime Un+1 en fonction de Un.
Puis calcule Un en fonction de n.
Et enfin trouve n tel que Un=1/2

[Quidam]

Une équation différentielle ? Pas une mauvaise idée, mais ce ne sera qu'une approximation ! Peut-être peux-tu étudier la suite des concentrations en eau du tonneau...U(n)=concentration du n-ième jour

[Oppo]

Donc si j'étudie le taux d'eau présente dans le tonneau j'ai U(0) = 0
et après est-ce que ç'est juste si j'écris U(n+1) = U(n) + 1, comme à chaque fois on rajoute 1L d'eau ?

[anima]

Bonjour a tous
Je suis en terminale et j'aimerais que vous m'aidiez à résoudre cet exercice :

Un tonneau de vin contient 228 L de vin auquel on ne donne pas un accès aisé. Cependant, on prélève discrètement chaque matin 1 L de ce tonneau que l'on remplace subrepticement par 1 L d'eau.
A partir de quel jour boit-on plus d'eau que de vin ?

J'avais pensé à une équation différentielle mais je ne suis pas sûr...
Merci d'avance pour votre aide

J'utiliserai une suite et une différence, moi.
étant la quantité de vin restante dans le tonneau

Ta solution se trouvera en regardant quand change de signe pour avoir quand on a le vin = l'eau. Ton évènement correspondra au jour suivant (114 est la moitié du tonneau; je cherche quand il y a autant d'eau que de vin dans le tonneau)

Tout cela était en supposant qu'on prélève à chaque fois 1L de vin. Cependant, l'exo dit 1L tout court...Donc, probas?

[Oppo]

alors dans ce cas il faudrait calculer la probabilité d'enlever 1 L de vin, celle d'enlever 1L d'eau, etc...
mais il faudra quand même utiliser une suite

[anima]

alors dans ce cas il faudrait calculer la probabilité d'enlever 1 L de vin, celle d'enlever 1L d'eau, etc...
mais il faudra quand même utiliser une suite

Au contraire, je ne pense pas.

Wow. Le gars, si c'est un raisonnement par proba, il n'en a pas fini de dénombrer. On a un arbre de ce genre:

Etape 1: 224L de vin:
- Proba de l'eau nulle
- Proba du vin = 1 -> étape 2

Etape 2: 223L de vin:
- Proba de l'eau: 1/224 -> retour à l'étape 2
- Proba du vin: 223/224 -> étape 3

Je ne pense pas que ça soit faisable sans ordinateur; c'est presque infini...

[Oppo]

justement mon prof de maths nous avait demandé si on savait se servir d'un tableur, je pense que ce doit être le raisonnement à adopter

[maturin]

moi j'ai appelé Un le tuax d'eau dans le vin, c'est donc un pourcentage (nombre entre 0 et 1).

Quand on retire un litre du breuvage on retire Un litre d'eau et 1-Un litres de vin.
Si on considère que le liquide est bien dilué y a pas de proba à faire...

Tu peux aussi appeler Un le nombre de litre d'eau dans le breuvage ça revient juste à multiplier le taux d'eau par le volume total.

Donc exprime combien il y a de litre d'eau à l'étape n
Exprime combien il y a de litre d'eau à l'étape intermédiaire après avoir retiré 1 litre du breuvage.
Exprime combien il y a de litre d'eau après en avoir ajouté 1l.
Calcule le taux final d'eau.

[anima]

moi j'ai appelé Un le tuax d'eau dans le vin, c'est donc un pourcentage (nombre entre 0 et 1).

Quand on retire un litre du breuvage on retire Un litre d'eau et 1-Un litres de vin.
Si on considère que le liquide est bien dilué y a pas de proba à faire...

Tu peux aussi appeler Un le nombre de litre d'eau dans le breuvage ça revient juste à multiplier le taux d'eau par le volume total.

Donc exprime combien il y a de litre d'eau à l'étape n
Exprime combien il y a de litre d'eau à l'étape intermédiaire après avoir retiré 1 litre du breuvage.
Exprime combien il y a de litre d'eau après en avoir ajouté 1l.
Calcule le taux final d'eau.

C'est vraiment pas bête, ca. J'avais pas pensé que le truc serait dilué...Ah lala, la bêtise humaine :hum:

[maturin]

remarque c'est un peu des proba qq part que de dire que s'il y a un taux Un d'eau tu as Un chance de prendre de l'eau et (1-Un) chance de prendre du vin.


Enfin sinon pour le tableur ça peut te servir pour calculer les termes de Un par récurrence, si tu n'arrive pas à exprimer Un en fonction de n.
Sinon ça peut aussi servir à calculer n tel que Un=1/2 si tu ne sais aps résoudre cette équation à la main
(j'ai pas fait les calculs pour tout dire donc je sais aps si c'est ismple ou pas)

[Quidam]

Soit C la capacité du tonneau (C=228 l). Soit la proportion de vin dans le tonneau après le n-ième prévèvement. .
Le jour (n+1) on enlève 1 l de mélange, soit litres de vin. Dans le tonneau il reste donc (C-1) litres à la concentration soit litres de vin pur. On complète avec de l'eau. Donc litres de vin pur sont dilués dans un mélange de C litres. La nouvelle concentration est donc :

est clairement une suite géométrique...

[Oppo]

donc si je comprends bien, je dois utiliser la suite définie par récurrence telle que :

Uo = 1
U(n+1) = (C-1)/C * Un

avec U(n+1) < 1 ?

[Oppo]

Mais j'ai vu dans un autre forum que le vin (mélange eau + alcool) est moins dense que l'eau et qu'il reste donc en surface...
En partant de ce concept je pense qu'une simple suite avec différence serait suffisante...

[Oppo]

d'autant plus qu'en calculant les 4 premiers termes de la suite donnée par quidam, je constate que ça diminue de 0.01 à chaque fois, ce qui reviendrait au même résultat qu'avec U(n+1) = 228 - Un...
je fais tous les calculs et je vous donne le résultat ensuite

[Oppo]

Soit C la capacité du tonneau (C=228 l). Soit la proportion de vin dans le tonneau après le n-ième prévèvement. .
Le jour (n+1) on enlève 1 l de mélange, soit litres de vin. Dans le tonneau il reste donc (C-1) litres à la concentration soit litres de vin pur. On complète avec de l'eau. Donc litres de vin pur sont dilués dans un mélange de C litres. La nouvelle concentration est donc :

est clairement une suite géométrique...

Il n'y aurait pas plus simple et plus rapide ?

[Quidam]

d'autant plus qu'en calculant les 4 premiers termes de la suite donnée par quidam, je constate que ça diminue de 0.01 à chaque fois, ce qui reviendrait au même résultat qu'avec U(n+1) = 228 - Un...
je fais tous les calculs et je vous donne le résultat ensuite

Bien sûr : tout le monde sait que :
est très proche de 1, quand C=228 !
Apparemment, tu n'es pas sans ignorer que :
Et que est proche de tant que n n'est pas trop grand et que est assez petit.
Ici, .
Pour toi, , pour moi, . C'est vrai qu'au début, les deux suites sont assez proches :

Mais à mesure que le temps avance, on s'aperçoit qu'il y a une différence sensible :


Pour arriver à 0.5, ta suite peut se contenter d'aller à 114 :

Pour arriver au même objectif, il faut aller jusqu'à n=158



Je n'ai pas de connaissance spécifique dans la capacité de l'eau à se mélanger ou pas au vin, mais je pense qu'il est clair que l'objectif du problème est de te faire travailler sur les suites géométriques !

Maintenant, si tu trouves plus simple...c'est toi qui vois !

[Quidam]

Lorsque ton professeur t'auras donné la solution, ce sera sympa de venir nous dire ce qu'il attendait de toi !