Exercice trigonométrie besoin de conseil

[Alainb35]

Voici le texte
Démontrer que si x et y vérifient la relation
a sin x sin y + b cos x cos y = 0
l'expression

Z = 1/(asin²x + bcos²x ) + 1/ (asin²y+bcos²y) est indépendante de xet y


dans Z = .... je remplace sin² et cos² en fonction de tg
et dans la premiere je divise par cos x cosy pour trouver tg x en fonction de tg y mais le pb je n'arrive pas à simplifier l'expression Z !!!!! estce la bonne méthode ?

[diabologus]

Bonjour.

D'abord voir les conditions sur a et b :

si a = 0 alors pour tous x,y réels : a.sinx.siny + b.cosx.cosy = 0
=b.cosx.cosy. Donc, si a = 0 alors b=0 également.
Si b=0 alors idem : a=0.
Mais a=0 et b=0 => Z n'est pas défini.
Donc la condition sur a et b c'est que a ET b soient non nuls.

Ensuite, m'est avis que ta question est toute autre, qu'elle est de montrer que Z ne dépend pas de a ni de b.

Maintenant si donc a,b non nuls alors :

Z =N / D

Avec, pour tous x,y réels pour lesquels Z est défini (D0) :

D = (a.sin²x+b.cos²x).(a.sin²y+b.cos²y).
N = a.sin²y+b.cos²y+a.sin²x+b.cos²x.

D = a²sin²xsin²y + absin²xcos²y + abcos²xsin²y + b²cos²xcos²y.
D = (a.sinx.siny + b.cosx.cosy)² -2ab.sinx.cosx.sinycosy + absin²xcos²y + ab.cos²x.sin²y.
D = -2ab.sinx.cosx.sinycosy + absin²xcos²y + ab.cos²x.sin²y.

D = ab.(sinx.cosy - cosx.siny)²

Faire la même chose pour N, bidouiller savatement pour parvenir à une expression simple.

Je trouve N = ab.(cosx.sinx - siny.cosy)². (peux m'être trompé).

Donc finalement, sauf erreurs de calcul :

Z = [(cosx.sinx - siny.cosy) / (sinx.cosy - cosx.siny)]².

Ce qui donne que Z ne dépend pas de a ni de b.

... était-ce la question ? Je crois que oui, car de toutes façons Z semble devoir dépendre de x et de y, pour les x et les y réels pour lesquels Z est défini ... (peux me tromper ...)

Bon courage.

[Alainb35]

Merci pour les infos