Exercice terminale S "sous-tangente"

[Anonyme]

Bonjour,

je n'arrive pas à résoudre le pb suivant (j'y ai passé quasiment la nuit....
C'est pour un dm à rendre jeudi), auriez vous des pistes, je suis perdu :-(


Enoncé:

Soit C la courbe représentative d'une fonction dans un repere orthonormal
d'une fonction f.
Si la tangente T à C en M coupe l'axe des abscisses au point N, on appellera
"sous tangente en M" le nombre HN=x(n)-x(m)

1) Dans cette question, la courbe C a pour équation y=e^-x
a) Calculer la sous-tangente au point d'abscisse 0 et au point d'abscisse 1.
b) Démontrer que la sous-tangente à la courbe d'équation y=e^-x est une
constante que l'on précisera.

2) Dans cette question, on donne un réel a différent de 0, et on se propose
de déterminer des fonctions f dont les courbes représentatives admettent une
sous-tangente constante égale à a.
Soit y=f(x) l'équation d'une telle courbe avec f dérivable en x(o) et
f'(x(o)) différent de 0.
a) Calculer la sous-tangente au point M d'abscisse x(o) et vérifier que l'on
a f(x(o))= af'(x(o))
b) En déduire que f est solution de l'équation différentielle Y'=-1/a Y
c) Résoudre cette équation différentielle et représenter des courbes C dans
les cas a=-1 et a=2


Merci pour votre aide, tout piste est vraiment la bienvenue...

[Anonyme]

peut etre pourrais tu nous dire ou tu coinces....

je t'aide pour 1) a)

ecris l'equation de la tangente en M(0,1) : y=-x+1 ; xM = 0
N est l'intersection de T avec axe des absisses : -xN +1 = 0 donc xN=1

donc HN = 1 (tes notations sont ambigues ; il s'agit d'une distance ? d'une
simple difference ? pas de valeur absolue ?)

idem pour 1

pour b), meme demarche
encore faut il connaitre son cours pour ecrire l'equation d'une tangente en
M


"Billy" a écrit dans le message de news:
4163b046$0$15752$7a628cd7@news.club-internet.fr...
> Bonjour,
>
> je n'arrive pas à résoudre le pb suivant (j'y ai passé quasiment la
nuit....
> C'est pour un dm à rendre jeudi), auriez vous des pistes, je suis perdu

>
>
> Enoncé:
>
> Soit C la courbe représentative d'une fonction dans un repere orthonormal
> d'une fonction f.
> Si la tangente T à C en M coupe l'axe des abscisses au point N, on
appellera
> "sous tangente en M" le nombre HN=x(n)-x(m)
>
> 1) Dans cette question, la courbe C a pour équation y=e^-x
> a) Calculer la sous-tangente au point d'abscisse 0 et au point d'abscisse
1.
> b) Démontrer que la sous-tangente à la courbe d'équation y=e^-x est une
> constante que l'on précisera.
>
> 2) Dans cette question, on donne un réel a différent de 0, et on se
propose
> de déterminer des fonctions f dont les courbes représentatives admettent
une
> sous-tangente constante égale à a.
> Soit y=f(x) l'équation d'une telle courbe avec f dérivable en x(o) et
> f'(x(o)) différent de 0.
> a) Calculer la sous-tangente au point M d'abscisse x(o) et vérifier que
l'on
> a f(x(o))= af'(x(o))
> b) En déduire que f est solution de l'équation différentielle Y'=-1/a Y
> c) Résoudre cette équation différentielle et représenter des courbes C
dans
> les cas a=-1 et a=2
>
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> Merci pour votre aide, tout piste est vraiment la bienvenue...
>
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[Anonyme]

Billy a écrit:
> Bonjour,
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> je n'arrive pas à résoudre le pb suivant (j'y ai passé quasiment la nuit....
> C'est pour un dm à rendre jeudi), auriez vous des pistes, je suis perdu
>
>
> Enoncé:
>
> Soit C la courbe représentative d'une fonction dans un repere orthonormal
> d'une fonction f.
> Si la tangente T à C en M coupe l'axe des abscisses au point N, on appellera
> "sous tangente en M" le nombre HN=x(n)-x(m)

H est le projeté de M sur Ox, donc.
La droite tangente passe par le point (x(m),f(x(m))) et a pour pente
f'(x(m)).
Son équation est donc (y-f(x(m))=f'(x(m))*(x-x(m))
>
> 1) Dans cette question, la courbe C a pour équation y=e^-x
> a) Calculer la sous-tangente au point d'abscisse 0 et au point d'abscisse 1.
Applcation pour cette f et x(m)=0 : f(x(m))=1 et f'(x(m))=1 ce qui donne
l'équation y-1=(x-0) ou y=1-x (ordonnée à l'origine 1 et pente -1... ça
va bien) dont si y=0 (en N) alors x(n)=1. La sous tanente vaut 1.
Idem pour x(m)=1 l'équation est y-1/e=-1/e*(x-1) et pour avoir y=0 on
doit avoir x(n)=2. La sous tangente vaut 2-1=1.

> b) Démontrer que la sous-tangente à la courbe d'équation y=e^-x est une
> constante que l'on précisera.
Fais le même calcul dans le cas le plus général : f'(x(m))=-1/exp(x(m)).

>
> 2) Dans cette question, on donne un réel a différent de 0, et on se propose
> de déterminer des fonctions f dont les courbes représentatives admettent une
> sous-tangente constante égale à a.
> Soit y=f(x) l'équation d'une telle courbe avec f dérivable en x(o) et
> f'(x(o)) différent de 0.
> a) Calculer la sous-tangente au point M d'abscisse x(o) et vérifier que l'on
> a f(x(o))= af'(x(o))
c'ets la réciproque, en qq sorte .. Mais les calculs sont du même type.


> b) En déduire que f est solution de l'équation différentielle Y'=-1/a Y
C'est la même chose que ce qui vient d'être démontré, avec un 'quelque
soit x' devant.

> c) Résoudre cette équation différentielle et représenter des courbes C dans
> les cas a=-1 et a=2

Suppose Y de la forme exp(kX) avec k à trouver, alors : Y'+1/aY=
(k+1/a)Y=0 donc k=-1/a.
cela donne donc exp(x) et exp(-x/2).