Exercice

[iter45]

Bonjour ! Pouvez vous m'aider car je ne trouve pas du tout coment commencer le problème , je n'arrive méme pas a trouver l'idée de base . Le mot " minimal " me fait penser qu'il y'aura une fonction polynome du second degrès mais bon je n'arrive pas du tout à trouver . Quelqu'un pourrait-il m'aider à trouver simplement l'idée de base afin que je puisse continuer. Merci d'avance .

Voici l'intitulé du problème :

Une boîte parallèlépipède à base carrée, d'un volume de 64 dm^3, est construite dans un matériau qui revient à 3centimes le cm² pour le fond et le couvercle, et à 2centimes le cm² pour la surface latérale.
Quelles doivent être les dimensions de cette boîte pour que son coût de revient soit minimal ?

Voila depuis vendredi soir j'essaye de le résoudre sans réussite. J'utilise donc la dernière solution qui est un forum afin de pouvoir être aider.

Merci d'avance de votre aide.
Au revoir !

[armor92]

Bonjour iter,

Soit b le coté en cm de la base carrée de la boite et h la hauteur en cm.

Le volume de la boite est donné par : V = b² * h = 64000 cm^3

La surface de la base et du couvercle correspond à 2b² cm²

La surface des cotés correspond à 4 bh cm².

Le cout de la boite revient à C = 2b² * 3 + 4 bh * 2 centimes.

On doit donc minimiser C sachant qu'on a la relation sur le volume.

On peut remplacer h par 64000/b² dans l'expression du cout.

C(b) = 6b² + 8 * 64000 /b. On cherche donc à minimiser cette fonction.

C(b) sera minimal pour C'(b) = 0
C'(b) = 12b - 512000/b².
C'(b) = 0 pour 12b = 512000/b², c'est à dire pour b^3 = 128000/3

b = Racine_cubique(128000/3) = 40 * Racine_cubique(2/3) cm
h = 64000/b² = 40 * (3/2)^(2/3) cm