Exercice Ts.

[Anonyme]

Toujours le même, mais je ne trouvais pas l'autre.

Voici l'énoncé (en entier):
I
1 on pise f(x) = x³+5x²+5x+4
calculer f(-4) et en déduire les solutions de f(x)=0 dans R.
2 On pose P(z) = 2z4 + (10-i)z³ + (10-5i)z² + (8-5i)z - 4i
a. L'équation P(z) = 0 admet une solution réelle. Trouvez là ? (Il n'y
en a qu'une).
b. L'équation admet une solution imaginaire pure. Trouvez là.
c. Résoudre dans C P(z) = 0.


Mes réponses (sje simplifierai en évitant de poser tous les calculs,
simplement les débuts et fin).

1.
F(-4) = (-4)³ + 5 * (-4)² + 5 * (-4) + 4
=0

On peut donc écrire
f(x) = (x+4)(ax²+bx+c)
On trouve
a=1
b=1
c=1

On cherche les solutions dans R:
(x+4)(x²+x+1) = 0
x+4 = 0 => x = -4
ou x²+x+1 = 0
delta = -3 donc les solutions ne seront pas dans R
S= {-4}

On développe P(z) puis on trouve (2z-i) (f(x))
Donc la solution réelle est -4
La solution imaginaire pure est
2z-i = 0
=> z = i/2

Résoudre P(z) = 0

S={ -4 ; i/2 ; (-1 - i.rac(3))/2 ;(-1 + i.rac(3))/2 }



II
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (unité graphique 2cm).
Soient A, B, C d'affixes respectives a = 4 ; b = 1 + i.rac.(3) ; c = 1 -
i.rac.(3)

1 placer les points A, B, C

2 montrer que le triangle ABC est équilatéral
Soit K le point d'affixe k ) - (rac.(3) + i
On appelle F l'image de K par la rotation de centre O et d'angle pi/3
et G l'image de K par la translation de verteuc OB

3a quelles sont les affixes de F et G
b Montrer que les droites (OC) et (OF) sont perpendiculaires

4 soit H le quatrième sommet du paraléllogramme COFH
a Montrer que le quadrilatère COFH est un carré
Calculer l'affixe de H
Le triangle AGH est-il équilatéral ?




1. Si ABC équilatéral, zAB = zBC = zAC
On caclcul les modules de AB, AC, et BC et on trouve rac. (12)
Donc le triangle est équilatéral.

3. Formule de la rotation: z' = e^(i.teta) * z + b
Ici b = 0 car rotation de centre O
On trouve pour l'affixe de F:
f= - rac. (3) - 1

Formule pour la translation:
z'=z+b
on trouve:
g=(-rac. (3) +1)( i (rac. (3) + 1)

b. Si les droites sont perpendiculaires, alors en faisant une rotation
de pi/2 on devrait retrouver l'affixe du point:
zc doit être égal à e^i.(pi/2) zf

On retrouve bien l'affixe de C. Les droites sont perpendiculaires.


4. On sait que (OC) et (OF) sont perpendiculaires.
On calcul et trouve que OC=OF donc le quadrilatère est un carré.

H a pour affixe:
(1-rac. (3)) + i(-rac.(3) -1)

Le triangle AGH est équilatéral si AG = AH = GH
(en faisant les calculs je ne trouve pas la même chose)



III
Pour z différent de i on pose Z = (z+2i)/(1-iz).
Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points M
d'affixe z tels que:

1. Z est réel.

2. Un argument de Z est -pi/2

3. Le point d'affixe Z est sur le cercle de centre A d'affixe i et de
rayon 1/2

4. Les points A (i), M(z), N(Z) sont alignés.

5. M(z) et N(Z) sont confondus.





1. On développe Z et on trouve:
(-x/(1+2y+y²+x²)) + i(x²+3y+y²-2)/(1+2y+y²+x²)

La partie imaginaire doit être égal 0

2. zA = -2i
zB = -1
M appartient au cercle de diamètre AB.










Voilà, c'est tout ce que j'ai fait (désolé si je n'ai pas tout
développé, mais je n'ai pas énormément de temps).
J'espère ne pas avoir fait d'erreur.

Merci à ceux qui m'ont déjà aidé, et merci à ceux qui m'aideront.

[Anonyme]

> III
> Pour z différent de i on pose Z = (z+2i)/(1-iz).
> Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points M
> d'affixe z tels que:
>
> 1. Z est réel.
>
> 2. Un argument de Z est -pi/2
>
> 3. Le point d'affixe Z est sur le cercle de centre A d'affixe i et de
> rayon 1/2
>
> 4. Les points A (i), M(z), N(Z) sont alignés.
>
> 5. M(z) et N(Z) sont confondus.


Pour la question 1, c'est bon, j'ai réussi:
Les points M apparitennent au cercle de centre C (0 ; -3/2) et de rayon 1/2

Pour les questions 2, 3, 4, 5 je n'y arrive toujours pas, merci de me
donner un coup de main.

[Anonyme]

Alexandre a écrit :
[color=green]
>> III
>> Pour z différent de i on pose Z = (z+2i)/(1-iz).
>> Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points M
>> d'affixe z tels que:
>>
>> 1. Z est réel.
>>[/color]

> Pour la question 1, c'est bon, j'ai réussi:
> Les points M apparitennent au cercle de centre C (0 ; -3/2) et de
rayon 1/2
[color=green]
>> 2. Un argument de Z est -pi/2[/color]

Pour moi, on fait:
zA= -2i
zB=-1
Les points M appartiennent au cercle de diamètre AB.

Mais je ne suis pas sûr ..

[color=green]
>> 3. Le point d'affixe Z est sur le cercle de centre A d'affixe i et de
>> rayon 1/2
>>
>> 4. Les points A (i), M(z), N(Z) sont alignés.
>>
>> 5. M(z) et N(Z) sont confondus.
>
>
> Pour les questions 3, 4, 5 je n'y arrive toujours pas, merci de me
> donner un coup de main.[/color]

[Anonyme]

Alexandre a écrit:
> Alexandre a écrit :
>[color=green][color=darkred]
>>> III
>>> Pour z différent de i on pose Z = (z+2i)/(1-iz).
>>> Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points M
>>> d'affixe z tels que:[/color][/color]
[color=green][color=darkred]
>>> 2. Un argument de Z est -pi/2
>>[/color]
>
> Pour moi, on fait:
> zA= -2i
> zB=-1
> Les points M appartiennent au cercle de diamètre AB.[/color]

Euh... zB appartient pas franchement à l'ensemble cherché non ?
Je pense qu'une des méthodes est d'écrire que un argument de Z est -pi/2
équivaut à : il existe k positif tel que Z = -k*i et de déveloper ...
Bon d'accord c'est pas joli..


> Mais je ne suis pas sûr ..
>
>[color=green][color=darkred]
>>> 3. Le point d'affixe Z est sur le cercle de centre A d'affixe i et de
>>> rayon 1/2
>>>[/color][/color]

Ca veut dire que module de z-a vaut 1/2.
[color=green][color=darkred]
>>> 4. Les points A (i), M(z), N(Z) sont alignés.
>>>[/color][/color]

penses aux vecteurs
les points sont alignés équivaut à les vecteurs sont colinéaires
[color=green][color=darkred]
>>> 5. M(z) et N(Z) sont confondus.
>>
>>
>>
>> Pour les questions 3, 4, 5 je n'y arrive toujours pas, merci de me
>> donner un coup de main.[/color]
>[/color]

[Anonyme]

On Fri, 15 Oct 2004 19:18:00 +0200, Alexandre wrote:
[color=green]
>> III
>> Pour z différent de i on pose Z = (z+2i)/(1-iz).
>> Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points M
>> d'affixe z tels que:[/color]
Z=(z+2i)*i/(z+i)
cette écriture a le mérite de faire apparaître une expression de la
forme (z-z_U)/(z-z_V) dont l'argument est l'angle (MV,MU) (cours TS)
donc ici argZ = (MV,MU)+pi/2 ( à 2kpi évidemment)
ici U a pour affixe -2i , V a pour affixe -i[color=green]
>> 1. Z est réel.[/color]
Z réel donc son arg est o ou pi ce qui va te donner pour (MV,MU)
-pi/2 ou pi/2 donccercle de dia UV[color=green]
>> 2. Un argument de Z est -pi/2[/color]
là (MV,MU) fait -pi : donc M sur le segment UV (extémités exclues)[color=green]
>> 3. Le point d'affixe Z est sur le cercle de centre A d'affixe i et de
>> rayon 1/2[/color]
tu veux |Z-i|=1/2
or Z-i=-1/(z+i) donc tu as tout de suite |z+i| donc tu auras un cercle

de centre V[color=green]
>> 4. Les points A (i), M(z), N(Z) sont alignés.[/color]
Z-i =k(z-i) avec k réel ce qui doit donner z^2+1 réel[color=green]
>> 5. M(z) et N(Z) sont confondus.
>[/color]
il suffit de résoudre Z=z , équation qui se simplifie beaucoup
tiens la question la + facile est à la fin

bien vérifier ce que j'ai raconté, car qq me cassait les pieds pendant

que je faisais cette réponse
>Pour la question 1, c'est bon, j'ai réussi:
>Les points M apparitennent au cercle de centre C (0 ; -3/2) et de rayon 1/2
>
>Pour les questions 2, 3, 4, 5 je n'y arrive toujours pas, merci de me
>donner un coup de main.

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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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[Anonyme]

> ici U a pour affixe -2i , V a pour affixe -i

-i ou -1 ?

Parce que je l'avais fait avec -1, mais je ne trouvais pas !?


Merci

[Anonyme]

Je trouve les résultats pour les questions 2, 3, et 5.

La 4 j'arrive à me retrouver avec z²+1 réel, mais je ne sais pas ce que
cela doit faire, graphiquement ?

Merci de m'apporter la touche finale :)

[Anonyme]

Alexandre , dans le message (fr.education.entraide.maths:58692), a écrit
:
> La 4 j'arrive à me retrouver avec z²+1 réel, mais je ne sais pas ce que
> cela doit faire, graphiquement ?

Je n'ai pas lu le reste, mais z^2+1 réel, ça ressemble pas mal à z^2
réel et donc z réel ou imaginaire pur.

[Anonyme]

On Mon, 18 Oct 2004 17:39:00 +0000 (UTC), Xavier Caruso wrote:

> Je n'ai pas lu le reste, mais z^2+1 réel, ça ressemble pas mal à z^2
> réel et donc z réel ou imaginaire pur.

Hey, Xavier, plutôt que de faire les exos de TS, tu veux pas essayer les
miens ?

--
Nicolas, que son exo part d'un problème super sympa qui est de trouver
une CNS sur le prior de la distribution du biais d'une pièce de monnaie
pour pouvoir affirmer que si elle est tombée plus souvent sur pile que
sur face au cours des lancers précédents, alors il vaut mieux miser sur
pile.

[Anonyme]

Donc la représentation graphique donc une droite verticale d'eq. x = .. ?

(Problème, je ne connais pas la valeur de x)

[Anonyme]

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:58695), a
écrit :
> Hey, Xavier, plutôt que de faire les exos de TS, tu veux pas essayer les
> miens ?

Tu parles de ton exo avec l'intégrale ou il fallait trouver une CNS,
c'est ça ? Ben euh... j'y ai pas trop réfléchi, mais à première vue, ça
me semblait un peu désespéré .

Cela dit, redonne-moi l'énoncé, va, on sait jamais.

[Anonyme]

Donc la représentation graphique donc une droite verticale d'eq. x = .. ?

(Problème, je ne connais pas la valeur de x)



Juste une petite réponse ...

[Anonyme]

On Mon, 18 Oct 2004 18:59:20 +0000 (UTC), Xavier Caruso wrote:

> Cela dit, redonne-moi l'énoncé, va, on sait jamais.

Trouvez une CNS sur p (qui est positive et intègre à 1) pour que

\int_0^1 [(2x-1) x^n (1-x)^k p(x) dx]

soit positive ou nulle (avec n >k)

On peut le transformer en :

\int_0^{1/2} [ (1-2x) x^k (1-x)^k ((1-x)^(n-k)p(x) - x^(n-k)p(1-x))dx

Donc une CS est que (1-x)^(n-k)p(x) - x^(n-k)p(1-x) soit toujours
positif, ie que p(x) >= [x/(1-x)]^(n-k) p(1-x) pour 0<x<=1/2 et que
l'inégalité soit stricte sur un ensemble de mesure non nulle.

Mais je pense qu'on peut considérablement affaiblir les hypothèses.

--
Nicolas

[Anonyme]

On Mon, 18 Oct 2004 19:57:26 +0200, Alexandre wrote:

>Donc la représentation graphique donc une droite verticale d'eq. x = .. ?
>
>(Problème, je ne connais pas la valeur de x)
s'il s'agit de z^2 réel
ca fait z réel ou z imaginaire pur (puisque xy doit faire 0)
donc l'axe des abscisses y=0
l'axe des ordonnées x=0
*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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[Anonyme]

> donc l'axe des abscisses y=0
> l'axe des ordonnées x=0


C'est le point O ?

[Anonyme]

On Mon, 18 Oct 2004 22:02:01 +0200, Alexandre wrote:

>[color=green]
>> donc l'axe des abscisses y=0
>> l'axe des ordonnées x=0
>
>
>C'est le point O ?[/color]
non c'est l'union des 2 axes
car z^2 réel c'est x=0 ou y=0
*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

On Mon, 18 Oct 2004 19:50:37 GMT, Nicolas Le Roux wrote:

> \int_0^{1/2} [ (1-2x) x^k (1-x)^k ((1-x)^(n-k)p(x) - x^(n-k)p(1-x))dx
>
> Donc une CS est que (1-x)^(n-k)p(x) - x^(n-k)p(1-x) soit toujours
> positif, ie que p(x) >= [x/(1-x)]^(n-k) p(1-x) pour 0 l'inégalité soit stricte sur un ensemble de mesure non nulle.

Si on estime que p est développable en série entière (j'avoue que je ne
sais pas bien dans quelles conditions on peut supposer ça), on obtient
une condition sous la forme :

\sum_j \alpha_j (n+j-k) (n+j)! / (n+j+k+2)! > 0

où p(x) = \sum_j \alpha_j x^j

--
Nicolas