Calculer:
Exercice
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Exercice
par DerpyCloud » 15 Oct 2019, 20:03
Soient a et b deux entiers naturels tels que :
^{2020})
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Re: Exercice
par lyceen95 » 15 Oct 2019, 22:08
Indice n°1 : Si i,j,k et n sont 4 entiers, et si 
, que peut-on conclure sur i,j,k et n ?
Indice n°2 : Je ne suis pas sûr que ça serve dans l'exercice, mais on constate que
est une différence de 2 carrés, et comme par hasard, on retrouve une expression déjà vue.
Indice n°2 : Je ne suis pas sûr que ça serve dans l'exercice, mais on constate que
Re: Exercice
par aymanemaysae » 17 Oct 2019, 12:13
Bonjour;
Pour
; on a : ^0 = 1 = 1 + 0 \times \sqrt 2)
; donc : 
.
Pour
; on a : ^1 = 1 + \sqrt 2 = 1 + 1 \times \sqrt 2)
; donc : 
.
Pour
; on a : ^2 = 3 + 2 \times \sqrt 2)
; donc : 
.
Pour
; on a : ^3 = 7 + 5 \times \sqrt 2)
; donc : 
.
Donc on peut conjecturer et démontrer par récurrence la conjecture pour n pair et n impair , ce qui donnera le résultat non pas seulement pour n = 2020 mais pour tout n nombre entier naturel .
Pour
Pour
Pour
Pour
Donc on peut conjecturer et démontrer par récurrence la conjecture pour n pair et n impair , ce qui donnera le résultat non pas seulement pour n = 2020 mais pour tout n nombre entier naturel .
Re: Exercice
par GaBuZoMeu » 17 Oct 2019, 13:29
Est-ce que l'appellation "quantité conjuguée" te dit quelque chose ?
Re: Exercice
par aymanemaysae » 17 Oct 2019, 14:28
Une autre piste que tu peux suivre .
Soit
.
^{2n} = \Sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^k\sqrt2^k= \Sum_{k=0}^{n} C_{2n}^{2k}\sqrt2^{2k}+\Sum_{k=0}^{n-1} C_{2n}^{2k+1}\sqrt2^{2k+1}= \Sum_{k=0}^{n} C_{2n}^{2k}2^{k}+\sqrt2\Sum_{k=0}^{n-1} C_{2n}^{2k+1}2^{k})
.
Tu calcules ensuite :^{2n})
;
et enfin tu conclues en calculant :^{2n}(\sqrt 2 - 1)^{2n})
.
Soit
Tu calcules ensuite :
et enfin tu conclues en calculant :
Re: Exercice
par aymanemaysae » 23 Oct 2019, 10:25
Bonjour;
Pour élever un peu le degré de généralisation de cet exercice .
Soient
et 
.
On a :^{2n}=\Sum_{k=0}^nC_{2n}^{2k}(p^2+q)^kp^{2n-2k}+\sqrt{p^2+q}\Sum_{k=0}^{n-1}C_{2n}^{2k+1}(p^2+q)^kp^{2n-2k-1})
et^{2n}=\Sum_{k=0}^nC_{2n}^{2k}(p^2+q)^kp^{2n-2k}-\sqrt{p^2+q}\Sum_{k=0}^{n-1}C_{2n}^{2k+1}(p^2+q)^kp^{2n-2k-1})
;
donc si^kp^{2n-2k})
et ^kp^{2n-2k-1})
alorsb^2 = q^{2n})
.
Le cas est trivial .
Soient
et .
On a :^{2n+1}=(\sqrt{p^2+q}+p)(\sqrt{p^2+q}+p)^{2n}=(\sqrt{p^2+q}+p)(a+b\sqrt{p^2+q}))
b + (a+pb)\sqrt{p^2+q}=a'+b'\sqrt{p^2+q})
.
De même on a :^{2n+1} = -a'+b'\sqrt{p^2+q})
;
doncb'^2 -a'^2= q^{2n+1})
.
Pour élever un peu le degré de généralisation de cet exercice .
Soient
On a :
et
donc si
alors
Le cas
Soient
On a :
De même on a :
donc
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