Exercice

[nono2678]

On considère la fonction phi définie sur R par phi(x)=6e^(0.5x )-0.5*x^2-3x.
a. Étudier le sens de variation de phi'(x) sur R.
b. Démontrer que f(x)=3 si et seulement si phi'(x)=0.
c. En déduire le sens de variation de phi sur R.

J'ai déjà fait les questions a et b, mais je sèche totalement sur la dernière. Je pense qu'il faut déduire le signe de phi' pour avoir les variations de phi, mais je n'y arrive pas.

NB: la fonction f provient de la partie A de l'exercice que j'ai déjà faite. On a f(x)= (3+x)*e^(-0.5x). On trouve que f(x)=3 admet 2 solutions dans R, une nulle, et une autre dont on ne peut donner que l'encadrement.

Voilà mes réponses :
a. On calcule la dérivée de phi.
phi'(x)=3e^(0.5x)-x-3.
On ne peut pas en trouver le signe directement, donc on calcule la dérivée seconde.
phi''(x)=(3/2)*e^(0.5x)-1
On étudie le signe de phi''(x), et on peut en déduire les variations de phi'(x).
phi' est décroissante sur ]-infini;2ln(2/3)] et croissante sur [2ln(2/3);+infini]. Et la limite de phi'(x) est de +infini en -infini et + infini.

b. On pose l'équation f(x)=3, et en transformant l'expression, on tombe sur phi'(x)=0.

Merci d'avance pour votre aide

[Ben314]

Salut,
A mon avis, ce qui est attendu, c'est
- De calculer la valeur de phi'(2ln(2/3)) pour voir quel est le minimum de phi'.
- D'en déduire où elle s'annule puis quel est son signe sur différents intervalles où elle ne s'annule pas.
- D'en déduire les variations de phi.

En fait, tu as a déjà a peu prés tout fait, mais tu as pas "regroupé les morceaux".