Exercice ln

[Celia1111]

Bonjour, je rencontre quelque souci dans un exercice en maths et j'espère que vous m'apporterez de l'aide rapidement. Merci. Ceux qui est en Gras + Souligné sont les questions dont je n'arrive pas à faire.

On considère la fonction f définie sur ]0; + inf [ par:

f(x) = x ln x - 1


1) Déterminer la limite en 0 et + inf

Fait.

2) Calculer sa dérivée et en déduire la tableau de variation.

Fait.

3) Montrer que f(x) = 0 possède une unique solution alpha.

Fait.


4) Donner un encadrement de alpha à 10^-2 près

Fait.

5) Déterminer le signe de f

Fait.

6) Montrer que ln(alpha) = 1 / alpha



On considère l'intégrale I= Intégrale de Alpha à 4 de f(x) dx

7) Représenter f sur ]0;4], et hachurer l'aire représentative.

Fait


8) Determiner 2 réels a et b tels que la fonction F, définie sur ]0; + inf[ par F1(x) = x²(a ln x + b) soit une primitive de x ---> x ln x

Calculer J= Integrale de alpha à 4 de x ln x dx


9) Montrer l'égalité I= (alpha²/4) + (alpha/2) + 16ln2 - 8
En déduire une valeur approchée de I à 10^-2 près



Merci d'avance, cordialement.

[Manny06]

Bonjour, je rencontre quelque souci dans un exercice en maths et j'espère que vous m'apporterez de l'aide rapidement. Merci. Ceux qui est en Gras + Souligné sont les questions dont je n'arrive pas à faire.

On considère la fonction f définie sur ]0; + inf [ par:

f(x) = x ln x - 1


1) Déterminer la limite en 0 et + inf

Fait.

2) Calculer sa dérivée et en déduire la tableau de variation.

Fait.

3) Montrer que f(x) = 0 possède une unique solution alpha.

Fait.


4) Donner un encadrement de alpha à 10^-2 près

Fait.

5) Déterminer le signe de f

Fait.

6) Montrer que ln(alpha) = 1 / alpha



On considère l'intégrale I= Intégrale de Alpha à 4 de f(x) dx

7) Représenter f sur ]0;4], et hachurer l'aire représentative.

Fait


8) Determiner 2 réels a et b tels que la fonction F, définie sur ]0; + inf[ par F1(x) = x²(a ln x + b) soit une primitive de x ---> x ln x

Calculer J= Integrale de alpha à 4 de x ln x dx


9) Montrer l'égalité I= (alpha²/4) + (alpha/2) + 16ln2 - 8
En déduire une valeur approchée de I à 10^-2 près



Merci d'avance, cordialement.

j'écris a au lieu de alpha
a est defini par f(a)=0 soit aln(a)-1=0 soit ln(a)=......
pour la primitive derive x²(alnx+b) et identifie à xlnx

[Celia1111]

[quote="Manny06"]j'écris a au lieu de alpha
a est defini par f(a)=0 soit aln(a)-1=0 soit ln(a)=......


Je fais a ln (a) - 1 = 0
Donc ln a -1 = 0 / a
Finalement ln a = 1 /a

C'est seulement ça ?

[Celia1111]

Si oui, quand tu me demandes de dériver, je pose u et v...
Mais quand je dérive ( a ln x + b )
Je trouve ( a * (1/x) + b )

Je pense que cela est incorrect.

[Manny06]

Si oui, quand tu me demandes de dériver, je pose u et v...
Mais quand je dérive ( a ln x + b )
Je trouve ( a * (1/x) + b )

Je pense que cela est incorrect.

oui c'est ça pour lna
la derivée de alnx +b est a/x

[Celia1111]

A oui c'est vrai, b est une constante

J'arrive à:

2x a ln x + 2x b + (x² a / x )

Si je mets au même dénominateur, je pense que cela fait:

((2x² a ln x) + 2x² b) + (x² a) / x )

[Celia1111]

Sa bloque toujours

[Manny06]

Sa bloque toujours

2x a ln x + 2x b + (x² a / x )=2axlnx +2bx +ax=2axlnx+(2b+a)x
que tu identifies à xln x soit 2a=1 et 2b+a=0

[Celia1111]

Donc a = 1/2
et b= - 1 / 2

Est cela ?

[Celia1111]

besoin d'aide svp

[Kikoo <3 Bieber]

Yolo,

La flemme de tout lire mais pour résumer et pas géner la contribution de Manny06, tu dois :
- Dériver x^2*(aln(x)+b) en considérant cette quantité comme étant le produit de deux fonctions dérivables sur l'intervalle qui t'intéresse, puis identifier pour trouver a et b.
- Tu disposes donc d'une primitive (indic : celle qui s'annule en alpha) toute faite pour le calcul de J.
- Je pense que la 9 coule de source après calculs.

[Celia1111]

Bonjour;

Mais pour pouvoir continuer, je dois savoir si mes réels a et b sont bons, c'est à dire si a = 1/2 et b = -1/2

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour;

Mais pour pouvoir continuer, je dois savoir si mes réels a et b sont bons, c'est à dire si a = 1/2 et b = -1/2

Dérive pour voir.

[Celia1111]

En dérivant je trouve:
2x a ln x + 2x b + (x² a / x )
= 2axlnx+(2b+a)x

Ensuite d'ici je dois identifier a et b

Soit 2a = 1
et 2b+a = 0

Soit a = 1/2
et b= -1/2

[Kikoo <3 Bieber]

Non non, je te demandais de dériver pour toi même la fonction x^2(aln(x)+b) pour les valeurs trouvées de a et b. Si tes valeurs sont bonnes tu devrais tomber directement sur xlnx.
Fais confiance à tes calculs et apprends à les vérifier systématiquement et rapidement sur un brouillon.

[Celia1111]

Je ne comprends pas ce que tu me demandes, j'ai bien dérivé la fonction non ?

[Kikoo <3 Bieber]

Ben en remplaçant a et b par 1/2 et -1/2 dans x^2(aln(x)+b) puis en dérivant tu trouves quoi ?

[Celia1111]

j'ai: x² ( (1/2) * ln(x) -1/2 )
et j'arrive pas a appliqué u'v+uv'
j'ai 2x ( 1/2 * ln(x) - 1/2 ) + x² ( 1/2 * 1/x )
je pense que j'ai faux là...

[Kikoo <3 Bieber]

j'ai: x² ( (1/2) * ln(x) -1/2 )
et j'arrive pas a appliqué u'v+uv'
j'ai 2x ( 1/2 * ln(x) - 1/2 ) + x² ( 1/2 * 1/x )
je pense que j'ai faux là...

Oui, il te faut visiblement revoir tes valeurs de a et de b.
Voici mon calcul :
(x^2(aln(x)+b))' = 2x(aln(x)+b) + ax = xln(x)
Donc on doit avoir a + 2b = 0 et 2a = 1 donc a = 1/2 et b = -1/4

PS : le plus surprenant est que ton système était juste donc attention aux fautes d'étourderies.

[Celia1111]

Voilà, je trouve x ln x - 0,5.

Donc c'est faux, b devrait faire 1 non ? pour que cela fasse x ln x
Comment retrouver 1 alors ?