Exercice de synthèse sur les complexes !

[ptitgoci]

Partie A:On considère l'équation (E) z^3-(4+i)z²+(7+i)z-4=0 où z désigne un nombre complexe.
1)a]Montrer que (E) admet une solution réelle, noté z1.
b]Déterminer les deux nombres complexes a et b tels que pour tout nombre complexe z on ait: z^3-(4+i)z²+(7+i)z-4=(z-z1)(z-2-2i)(az+b)

2)Résoudre (E)

Partie B:
On considère les trois point A,B et C d'affixes respectives:
1; 2+2i; 1-i
1)Représenter A, B et C.

2)Déterminer le module et un argument de (2+2i)/(1-i)
En déduire la nature du triangle OBC.

3)Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC ?
Justifier la réponse.

4)Soit D le point d'affixe d=c(1-e^(-i*pi/2)
a]Déterminer d.
b]Quelle est la nature de OCDB ?

Merci d'avance pour votre aide

[ampholyte]

Bonjour,

Partie A :

1. a) Solution évidente z1 = 1

b) il suffit de développer et identifier

2) Avec l'expression factoriser il est facile de résoudre (E). Un produit de facteur est nul si ...

Partie B

Qu'est ce que tu n'arrives pas ?

[ptitgoci]

1) a] Je ne dois donc pas développer puis chercher delta ?
b] en développant je devrais tomber sur ça? (z-z1)(z-2-2i)(az+b)

Pour la partie B, c'est surtout à la question 4 que je bloque :/

[ampholyte]

1) a) Tu peux faire de cette manière mais résoudre une équation du 3eme degré risque d'être un peu délicat ^^

b) Tu dois développer (z-z1)(z - 2 - 2i)(az + b) pour identifier a et b

4)Soit D le point d'affixe d=c(1-e^(-i*pi/2)
a]Déterminer d.
b]Quelle est la nature de OCDB ?

Je ne comprends pas l'expression de d

[ptitgoci]

d=c(1-e^(-i*(1/;)))) avec c=1-i

[ampholyte]

Il faut que tu écrives d sous la forme

d = a + ib

Tu peux utiliser la formule d'Euler :

[ptitgoci]

Ah oui sous forme algébrique ?

Et pour revenir au 1)b] , je n'arrive pas à développer l'expression !

[ampholyte]

(z-z1)(z - 2 - 2i)(az + b) = (z² - 2z - 2iz - zz1 + 2z1 + 2iz1)(az + b)

= az³ + bz² - 2az² - 2bz - 2iz² - 2biz - az²z1 - bzz1 + 2azz1 + 2bz1 + 2aizz1 + 2biz1

= az³ + z²(b - 2a - 2i - az1) + z(2b - 2bi - bz1 + 2az + 2aiz1) + (2bz1 + 2biz1)

Erreur incluse :zen:

[ptitgoci]

Merci !
Maintenant faut que je trouve l'erreur ;)

[ptitgoci]

Trouvée je pense !

(z-z1)(z - 2 - 2i)(az + b) = (z² - 2z - 2iz - zz1 + 2z1 + 2iz1)(az + b)

= az³ + bz² - 2az² - 2bz - 2iaz² - 2biz - az²z1 - bzz1 + 2azz1 + 2bz1 + 2aizz1 + 2biz1

=az³ + bz²(b - 2a - 2ia - az1) + z(-2b - 2bi - bz1 + 2az + 2aiz) + (2bz1 + 2biz1)

C'est ça ?

[ptitgoci]

Up svp je reste bloqué ! ^^

[ampholyte]

Attention je n'ai jamais dit que j'avais fait une erreur, j'ai simplement dit que c'était possible :).

En revanche ta formule est fausse !

[ptitgoci]

Il faut peut être que je remplace z1 par 1 dès le départ non ?

[ampholyte]

Oui tout à fait, puisque tu l'as trouvé, il faut le remplacer, cela t'aidera grandement ^^

[Sa Majesté]

Bonjour,

Partie A :

1. a) Solution évidente z1 = 1

Ici oui mais parfois la solution réelle n'est pas évidente.
Il existe une méthode pour trouver la solution réelle quelle que soit cette solution (évidente ou non).

[ampholyte]

Ici oui mais parfois la solution réelle n'est pas évidente.
Il existe une méthode pour trouver la solution réelle quelle que soit cette solution (évidente ou non).

Tu as parfaitement raison.

Pour ce faire, il faut remplacer z par r1 réel. Trouver la partie réelle et la partie imaginaire et trouver les solutions de Im(f(x)) = 0 ou E(f(x)) = 0 (en choisissant l'équation la plus simple)