Exercice Sur Les Suites [ts]

[bunny]

Bonsoir,

Voici un exercice sur les suites dont je bloque à la dernière question :
J'aimerai par la même occasion vérifier si les trois premières questions sont justes. Surtout, l'exercice est un peu long mais il font prendre la peine de lire
Je vous demande surtout de m'aider pour la question 4

Voici l'énoncé :

Enoncé :

On considère la suite définie pour tout entier naturel par

1. Etudier la monotonie de la suite .

=> Pour étudier la monotonie de la suite , il suffit simplement de connaître le signe de la différence .
Par conséquent, =
On étudie le signe de
mais donc
La suite est donc strictement décroissante sur

(La justification est-elle bien rigoureuse ?)

2.Démontrer que pour tout entier naturel , .

=> Le raisonnement par récurrence est ici le mieux adapté dans cette situation.
Soit

*Initialisation* :
Montrons que est vraie :
donc est vraie car

*Hérédité* :
Admettons que soit vraie pour , c'est-à-dire :
Calculons maintenant

On sait que donc .
Ainsi, si alors
Prouvons donc que .
.
Nous pouvons maintenant affirmer que
Donc, d'après le raisonnement par récurrence, est vérifié...
(Manque-t-il des choses ?)

3. Déterminer la limite de la suite .

=> J'ai déterminer la limite en déduisant l'affirmation de la deuxième question... Je n'en suis pas sûr. Si ce n'est pas ça, dite-le moi.
car .
Donc, ...

4. Conjecturer une expression explicite de en fonction de puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.

=> Voilà, c'est surtout cette question que je ne sais pas faire.

Un très grand merci d'avance pour votre ou vos réponses.
Surtout, répondez-moi (je n'ai pas fait tout ça pour rien )

[girdav]

Bonjour.
Les trois premières question me semblent correctes.
Pour la question qui t'intéresse, on conjecture que .
Je te laisse le démontrer.
On calcule les premiers termes pour le voir.

[bunny]

Merci pour ta réponse très rapide.

Je ne fais que conjecturer l'expression :
Pour démontrer ma propriété, pense-tu que je peux la justifiée de façon rigoureuse uniquement par l'emploi d'un tableur ?

[girdav]

Non, avec un tableur tu ne pourras calculer qu'un nombre fini de termes, ce qui ne te permettra pas de le démontrer pour tout .
Donc il faut procéder par récurrence.

[bunny]

C'est bon j'ai trouvé la réponse par récurrence.
Merci pour tout girdav :++: et bonne soirée.