Exercice TS sur les suites.

[mike999]

salut jai un petit problème sur un exercice sur les suites:

on a : U(0) = 2 et U(n+1) ) =

1. montrer que la suite est majorée par 4.
la pas de problème, avec une récurrence c'est bon.

2. montrer que la suite est croissante.

la j'arrive pas.
je calcule U(n+1) - Un.
j'ai essayé de faire un encadrement, avec 0 < Un < 4 et 0 < <4
mais ça ne marche pas, ou alors il y a un truc qui m'échappe.
merci de m'éclairer.

[axiome]

Bonjour,
Pour les suites définies par récurrence comme ici, il faut que tu commences par prouver que la fonction associée à la suite est strictement monotone.
La fonction associées à la suite est définie par (c'est pas compliqué pour la trouver) :
(tu remplaces les par f(x) et les par x)
Tu prouves que cette fonction est strictement monotone.

Une fois que tu as fait cela, il y a un théorème qui dit que si la fonction associée à la suite est strictement monotone alors la suite est soit croissante soit décroissante.
Comment alors savoir si la suite est croissante ou décroissante ?
Il suffit de calculer .
Si c'est positif, la suite est croissante.
Si c'est négatif, la suite est décroissante.
Voila, bon courage.

[Black Jack]

2 <= Un <= 4
6 <= 3Un <= 12
10 <= 3Un + 4 <= 16
V10 <= V(3Un + 4)<= 4
et à fortiori: 2 <= U(n+1) <= 4

Donc Un est dans [2 ; 4] pour tout n de N

U(n+1) - U(n) = V(3U(n)+4) - U(n)

f(x) = V(3x+4) - x pour x dans [2 ; 4]

Tu étudies les variations de f(x) sur [2 ; 4] ...

Tu en déduis son signe...

Et tu as alors le signe de U(n+1) - U(n) pour tout n de N ...
On peut alors conclure ...

Essaie.

:zen:

[mike999]

merci a tous les 2.

Black Jack : le fait que 2 <= Un n'est pas évident.