Exercice sur les suites .

[dido181]

Bonjour, j'ai un exercice sur les suites, où j'ai quelques difficultés.

On considère la suite (U) définie par: pour tout entier naturel n, Un=(2^n)/;)(n!)

1/Démontrer que la suite (U) est décroissante à partir du rang 3
2/Établir que: pour tout n > 15, U(n+1) < 1/2 Un
3/Démontrer que pour tout n > 15, Un < (1/2)^(n-15) U(15)
4/En déduire la limite de la suite (U)

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J'ai essayé de cherché cet exercice, mais je n'arrive à rien

1/ (U) décroissante à partir du rang 3 <=> (Un) < 3
J'ai essayé par recurrence mais je n'arrive pas.

2/ J'ai commencé par: n! n+1!
;)n! < ;)(n+1!)
1/;)(n+1!) < 1/;)n!
2n/;)(n+1!) < 2n/;)n!
2n+1/;)(n+1!) < 2x2n/;)n!
Un+1 < 2 Un
Mais je n'ai rien démontré, alors que dois-je faire ?
Merci de bien m'aider !

[XENSECP]

Décroissante à partir du rang 3 ça veut pas du tout du tout du tout dire Un<3 !!!!
Ca veut dire : quand n >= 3, Un décroissante (soit Un+1/Un < 1, puisque Un>0 pour tout n)

[Huppasacee]

Bonjour

Un=(2^n)/;)(n!)

As tu calculé U(n+1) - Un ?

pour mettre au même dénominateur

se rappeler que :

(n+1)! = n! * (n+1)
et que 2^(n+1) = 2^n * 2

tu n'auras aucun mal à déterminer le signe du numérateur

[XENSECP]

Bonjour



As tu calculé U(n+1) - Un ?

pour mettre au même dénominateur

se rappeler que :

(n+1)! = n! * (n+1)
et que 2^(n+1) = 2^n * 2

tu n'auras aucun mal à déterminer le signe du numérateur

Oh non !!
Un+1/Un

[dido181]

U(n+1)/Un = [2^n+1/ ;)( n!* (n+1))] * ;)n! / 2^n
= 2/;)(n+1)

or n >=3
n+1 >=4
;)n+1 >=2
1/;)n+1 =< 1/2
2/;)(n+1) =< 1
U(n+1)/Un =< 1
donc Un décroissante à partir du rang 3

[Huppasacee]

Oh non !!
Un+1/Un

Oh ! la grosse exclamation !
2^(n+1) /(n+1)! - 2^n/n!
= 2^n(1-n)/(n+1)!


nombre de lignes ?