Exercice sur les suites.

par **Baba** » 10 Fév 2007, 00:10

Salut à tous !!!

Voilà, je post ce message pour vous demander de l'aide pour mon exercice.
En voici l'énoncé:
http://www.hiboox.com/image.php?img=56101d74.jpg

J'ai réussi à faire la première question, mais je ne sais pas vraiment comment faire les autres questions du 1. (b, c, et d). J'y ai réfléchi, mais ça m'inspire pas trop .... :hum:

Si quelqu'un pouvait éclairer ma lanterne, ce serait sympa ! :happy3:

par **titine** » 10 Fév 2007, 10:35

b) Vn = Un+1/Un
Ce qui donne Vn = ((n+1)/n)²*1/2 = (1+1/n)²*1/2
Or (1+1/n) >1
Donc (1+1/n)²*1/2 > 1/2
Ce n'est pas très clair écrit comme ça ... Dis moi si tu comprends. Sinon je l'écrirai en TEX.

c) Pour trouver les valeurs de n telles que Vn < 3/4 on résoud
(1+1/n)²*1/2 < 3/4 ...

par **Baba** » 10 Fév 2007, 10:52

Ce serait bien sympa de le mettre en TEX parce que là c'est moyennement compréhensible.....

par **titine** » 10 Fév 2007, 10:58

Vn = Un+1/Un
Ce qui donne Vn = ((n+1)/n)²*1/2 = (1+1/n)²*1/2
Or (1+1/n) >1
Donc (1+1/n)²*1/2 > 1/2
Ce n'est pas très clair écrit comme ça ... Dis moi si tu comprends. Sinon je l'écrirai en TEX.

par **Baba** » 10 Fév 2007, 11:13

Bon j'ai réussi à comprendre et j'arrive à l'égalité Vn = ((n+1)/n)²*1/2

Mais je ne comprends pas trop pourquoi tu mets = (1+1/n)²*1/2

EDIT: je viens de comprendre quand j'ai posté.
(n+1)/n = n/n + 1/n = 1 + 1/n

par **Baba** » 10 Fév 2007, 11:21

Par contre pour la c. j'y arrive moyen ....

J'arrive à (1/n) < (racine de 3/2) - 1

et ....

par **Baba** » 10 Fév 2007, 12:18

Je ne sais pas quoi faire quand j'arrive là.

Quelqu'un pour m'éclairer ?

par **titine** » 10 Fév 2007, 13:12

[quote="Baba"]Par contre pour la c. j'y arrive moyen ....

J'arrive à (1/n) rac(2)/(rac(3)-rac(2)) (la fonction inverse est décroissante sur
]0,+inf[ donc l'inégalité change de sens)
Et comme n est un entier n >= 5

La question d) ne devrait pas te poser problème ....

par **Baba** » 10 Fév 2007, 14:14

Donc pour la question c/ je dois répondre que N = rac(2)/(rac(3)-rac(2))

C'est bien ça ?

par **Baba** » 10 Fév 2007, 14:40

Bon là logiquement j'ai fini le 1.

Mais le raisonnement par récurrence de la 2. a/ j'ai du mal....

Pour l'initialisation, je pose n=5 et je trouve u5 <= u5
Pour l'hypothèse de récurrence, je dis on suppose qu'il existe un n >= 5 tel que on a l'inégalité que l'on doit retrouver.
Mais pour l'hérédité, je sais qu'il faut démontrer que la propriété est vraie au rang n+1 mais je bloque ....

Pouvez vous au moins me dire si les deux premières étapes de mon raisonnement par récurrence sont correctes ?

par **titine** » 10 Fév 2007, 15:33

On doit démontrer par récurrence que pour tout n >= 5 on a
Un <= (3/4)^(n-5)

Initialisation :
Pour n=5 c'est vrai car U5 est bien <= (3/4)^(5-5) = (3/4)^0 = 1
En effet U5 = 5²/2^5 = 25/32 < 1

Hérédité :
On suppose que la propriété est vraie pour n , c'est à dire que
Un <= (3/4)^(n-5) et on montre qu'alors elle est vraie pour n+1, c'est à dire que Un+1 <= (3/4)^(n-4)
On a montré au 1d) que, pour tout n >= 5, Un+1 <= (3/4) Un
Donc , comme l'hypothèse de récurrence est : Un <= (3/4)^(n-5)
on en déduit que : Un+1 <= (3/4) Un <=(3/4)*(3/4)^(n-5)
Donc Un+1 <= (3/4)^(n-4)
Gagné !

par **Baba** » 10 Fév 2007, 20:46

OK merci !!

Par contre pour le 2. b/ il faut que je fasse un raisonnement par récurrence à votre avis ?

Le truc c'est que je vois que c'est bon, mais je sais pas trop comment justifier... :hein:

par **Baba** » 10 Fév 2007, 22:29

up !!!!!!!

par **annick** » 10 Fév 2007, 22:59

Bonsoir,
non il n'est pas utile d'utiliser un raisonnement par récurrence:

tu viens de démontrer que un<=(3/4)^(n-5) u5

Donc u5<=(3/4)^0 u5
u6<=(3/4)^1 u5
u7<=(3/4)^2 u5
--------------
un<=(3/4)^(n-5) u5

donc Sn<=[1+3/4+(3/4)²+---------+(3/4)^(n-5)]u5

par **Baba** » 11 Fév 2007, 00:33

Ouais je voyais ça, mais je sais pas si cette rédaction va convenir ....

par **titine** » 11 Fév 2007, 09:30

Pourquoi pas ?

Et dans la question suivante utilise la formule permettant de calculer la somme des termes d'une suite géométrique ....

par **Baba** » 11 Fév 2007, 20:49

Dsl mais j'y arrive pas à la faire cette question c/

par **Baba** » 11 Fév 2007, 21:43

up !

Faudrait bien que je l'ai faite pour demain !

Exercice sur les suites.

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