Exercice sur les puissance : vérification de calculs.

[Lycée_Mansart_Saint_Cyr]

Bonjour à tous j’ai un exercice dont je voudrais vérifier si oui ou non mes réponses sont justes. Je vous remercie d’avance.

Voici l’énoncé :

Etudier sur R les fonctions suivantes.

1) f(x)=4x

Je suis certains de ce résultats-ci :
f(x)= 4^x <=> f(x)= e^xln(4)

Je calcule donc la dérivée et j’obtiens :
f’(x)= (ln(4))e^xln(4) > 0

ln(4)>0 car 4>1 car ln(1)=0 et exln(4)>0 car une exponentielle est toujours strictement positive..
La dérivée est strictement positive donc la fonction f est strictement croissante.




2) f(x)= (1/4)^x <=> f(x)= 1^x / 4^x <=> f(x)= 1 / 4^x <=> f(x)= 4^-x <=> f(x)= e^(-x ln(4))


Je calcule la dérivée et j'obtiens :

f'(x)= [-x ln(4)]e^[-xln(4)] <=> f'(x) -ln(4)e^[-xln(4)] < 0

La dérivée est strictement négative donc la fonction f est strictement décroisante.



3) f(x) = 4^x + (1/4)^x

La dérivée f' de la fonction f est la suivante :

f'(x) = ln(4)e^[-x ln(4)]+[-ln(4)e^(-xln(4))]

Pour tout x<0, on trouve f'(x)<0
Pour tout x>0, on trouve f'(x)>0

D'où la fonction f est décroissante sur ]-inf;0] et croissante sur [0;+inf[





Voilà j'aurais voulu savoir si ma démarche avait été la bonne et si oui y a-t-il des erreurs.

Je vous remercie.

[tigri]

bonsoir

dans2) erreur au départ de l'écriture de f'(x) : un x en trop

dans 3) f'(x) est la somme de deux termes :le premier est à revoir

[Lycée_Mansart_Saint_Cyr]

Je n'arrive pas à remédier aux erreurs je ne vois pas le x en trop dans le 2) et pour 3) j'applique les formules.

[tigri]

bonjour

dans 2)
je pense que ce que tu as voulu transcrire c'est la formule u' e^u : comme le ' est absent autour du premier crochet, cela fait une erreur, de calligraphie ; mais la dérivée qui suit est correcte

dans3)
il y a un signe - de trop dans le premier crochet , puisque le terme dérivé à reporter est ln4 e^(xln4)