Exercice sur les nombres complexes

[Tir McDohl]

Bonsoir, j'ai un petit souçis avec un exercice sur les nombres complexes et je viens dans l'espoir que vos conseils avisés puissent m'éclairer:

Le début de l'exercice est simple:

on doit mettre z1=racine3 - i ; z2= 1-i ; et Z=z1/z2 sous forme trigonométrique puis exponentielle.
z1=2e^(-i(pi/6)) ; z2=racine2 e^(-i(pi/4)) ; et Z=(2/racine2) e^i(pi/12).
puis écrire Z sous forme algébrique, donc voilà: Z= ((1+racine3)/2) - ((i - i racine3)/2).

On doit en déduire les valeurs de cos(pi/12) et sin(pi/12), donc j'ai factorisé par le module:
Z=(2/racine2) ((racine2+racine6)/4 - (i racine2 - i racine6)/4). Avec cos(pi/12)= (racine2+racine6)/4
et sin(pi/12)= - ((racine2-racine6)/4) = (racine6-racine2)/4.

Je bloque à la seconde question: "Dans le plan complexe, déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que (z-2)/(z+i) soit réel."

Donc si j'ai bien saisi faut faire en sorte de trouver toutes les valeurs de a et b possible avec M=a+ib, de façon à ce que les i s'annulent pour qu'il ne reste que la partie réelle. Mais je ne sais pas comment m'y prendre...

Je serais très reconnaissant à la personne qui pourra m'aider. Merci d'avance.

[quartzmagique]

Bonsoir,
... Je bloque à la seconde question: "Dans le plan complexe, déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que (z-2)/(z+i) soit réel."

Donc si j'ai bien saisi faut faire en sorte de trouver toutes les valeurs de a et b possible avec M=a+ib, de façon à ce que les i s'annulent pour qu'il ne reste que la partie réelle. Mais je ne sais pas comment m'y prendre...

Je serais très reconnaissant à la personne qui pourra m'aider. Merci d'avance.

Bonjour Tir McDohl
je n'ai pas l'habitude avec les maths je le réecris en latex sinon j'ai encore plus du mal
je vais voir pour si je peut t'aider tout à l'heure
je suis un peu fatigué là tout de suite...en attendant est-ce bien traduit?

on doit mettre ; et
sous forme trigonométrique puis exponentielle.

; et
puis écrire Z sous forme algébrique, donc voilà:

On doit en déduire les valeurs de et , donc j'ai factorisé par le module:

Avec

Je bloque à la seconde question: "Dans le plan complexe, déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que soit réel le rapport
"

[annick]

Bonjour,

cette question est une question classique sur les complexes.

Tout d'abord, on te demande de répondre à ça géométriquement (Regarde ton cours, tu dois avoir une partie qui y est consacrée).

On pose A d'affixe zA=2 et B d'affixe zB=-1

On a donc (zM-zA)/(zM-zB) qui doit être réel.

Quel est, exprimé sous la forme d'un angle orienté, l'argument de (zM-zA)/(zM-zB) ?
Quel est d'autre part la forme générale de l'argument d'un réel ?

[Tir McDohl]

Merci pour vos réponses.

En fait je sais déterminer l'argument d'un tel rapport mais je ne pensais pas du tout qu'on passerait par là pour cette question. Ici ce serait l'angle orienté (BM,AM) donc.
Donc pour répondre, puisque je sais que l'argument d'un réel est 0 ou Pi je dirais que la forme générale est k*pi avec k entier relatif. Au passage petite erreur dans la traduction, c'est zB= -i, pas -1.

Mais bon du coup je vois toujours pas :v. J'ai l'impression que transformer le rapport avec une quantité conjuguée ne mène vraiment nulle part, et j'imagine qu'il faut passer par l'algébrique car bon l'argument ne m'indique pas grand chose de plus que les i doivent s'annuler. Non là comme ça j'arrive pas à deviner la méthode.

[annick]

Si tu as (BM,AM)=kpi, cela veut dire que A,B et M sont alignés, donc que M appartient à la droite(AB).
Et voilà la résolution géométrique.

[Tir McDohl]

Ok merci, j'avais effectivement pas bien saisi ce qu'impliquait "résolution géométrique" on demandait beaucoup moins que je le croyais ahah. Du coup j'ai fait plein d'exos de ce type pour pas être largué bêtement plus tard: notamment quand l'ensemble E de points M est un cercle autour d'un point qu'on a défini ou quand c'est la bissectrice d'un segment constitué de deux points qu'on a défini. C'est toujours la même chose en fait et limite encore plus simple que le début de l'exo que j'avais montré.