Exercice sur les nombres complexes

[Pantoled]

Bonjour, j'ai un problème avec un exo:
Déterminer les points tels que z^2= 2i * (le conjugué de z) dans le plan. O est l'un d'eux. On note A, B et C les autres points à trouver."

J'ai déjà trouvé A d'affixe , mais pour le reste je bloque. Une idée s'il vous plaît? :we:

[Nightmare]

En passant au conjugué, ton égalité revient à

ie

En excluant le cas z=0 déjà trouvé, on obtient .

A toi de conclure.

[Pantoled]

En passant au conjugué, ton égalité revient à

ie

En excluant le cas z=0 déjà trouvé, on obtient .

A toi de conclure.

Alors là, j'ai rien compris O_o".

[XENSECP]

Moi je suis partisan des calculs... z = x+iy

[Nightmare]

Moi je suis partisan des calculs... z = x+iy

Et moi des astuces qui évitent les calculs lourds :lol3:

[Nightmare]

Alors là, j'ai rien compris O_o".

Que n'as-tu pas compris? Je suis simplement passé au conjugué dans l'équation. Ensuite j'ai utilisé le fait que

[Pantoled]

Que n'as-tu pas compris? Je suis simplement passé au conjugué dans l'équation. Ensuite j'ai utilisé le fait que

C'était la formule avec la puissance de 4 que je n'avais pas compris.
En fait après, je me retrouve avec , ce qui signifie que les points que je cherche se situent sur le cercle de rayon 8/3, c'est ça?

[Ericovitchi]

il a élevé au carré
ce qui fait
et donc il faut effectivement résoudre et donc trouver les 3 racines cubiques de 8i ce qui n'est pas bien difficile.

Par contre je ne comprend pas pourquoi tu parles de |z|= 8/3 ?

[Pantoled]

il a élevé au carré
ce qui fait
et donc il faut effectivement résoudre et donc trouver les 3 racines cubiques de 8i ce qui n'est pas bien difficile.

Par contre je ne comprend pas pourquoi tu parles de |z|= 8/3 ?

Bah moi j'ai raisonné avec les propriété des modules, c'est pour ça :/

[Ericovitchi]

sauf que si alors |z|=2 donc il y a quelque chose qui ne va pas dans ton raisonnement. Tu as dû prendre la puissance 3 pour un multiplié par 3

[Pantoled]

sauf que si alors |z|=2 donc il y a quelque chose qui ne va pas dans ton raisonnement. Tu as dû prendre la puissance 3 pour un multiplié par 3

Oups, effectivement =)
Ca me ramène à mon tout premier raisonnement (grâce auquel j'avais trouvé le point A), qui se faisait aussi grâce aux modules, mais d'une tout autre manière. Bref, je vais opter pour votre raisonnement qui m'a l'air bien plus efficace =)

[nema]

il a élevé au carré
ce qui fait
et donc il faut effectivement résoudre et donc trouver les 3 racines cubiques de 8i ce qui n'est pas bien difficile.

ça, c'est compris mais je n'ai pas compris comment nightmare est passé directement au conjugué, de z²= 2i (conjugué de z) à (conjugué de z)²= -2iz.
En tout cas, on peut arriver aux racines cubiques de 8i, en remplaçant z dans l'équation par sa forme exponentielle.
et je voudrais bien avoir la méthode analytique avec z=x+iy parce que là je suis tombée sur une équation dont je ne trouve pas la solution.
(x+iy)²= 2i(x-iy) x²-y²+2ixy=2ix+2y x²-y²+2ixy-2ix-2y=0
ce qui donne x²-y²-2y=0 et 2i (xy-x)=0
la 2ème équation donne x=0 ou y=1 mais je n'ai pas su trouver la solution de la 1ère équation.

[Ericovitchi]

Effectivement à partir de x²-y²-2y=0 et x(y-1)=0
C'est le "et" qui est important. Les deux équations ne doivent pas être résolues indépendamment mais ensemble.

Tu commences par x=0 tu en déduis y²+2y=0 et donc soit y=0 soit y=-2

Donc tu as déjà retrouvé la solution 0 puis la solution -2i

Puis y=1 d'où tu tires x²=3 donc

Ce qui te donne les deux autres racines et

[nema]

merciii!!!!
et pour le passage au conjugué, s'il vous plaît!

[Ericovitchi]

Quoi pour le passage au conjugué ? c'est quoi ta question ?

[nema]

comment peut-on passer directement, de z²= 2i *(conjugué de z) à (conjugué de z)²= -2iz?

[Ericovitchi]

Et bien il suffit d'appliquer et

En prenant le conjugué de ca donne
ou encore
(car le conjugué de i c'est -i)

[Nightmare]

C'est assez marrant de voir comment une astuce a priori simple qui a pour but d'éviter des calculs barbants se révèle au final plus difficile à appréhender. La faute à qui? Aux profs qui habituent trop les élèves à résoudre les exercices de façon mécanique sans trop y réfléchir ou aux élèves qui ne prennent pas le temps de comprendre?

[Pantoled]

C'est assez marrant de voir comment une astuce a priori simple qui a pour but d'éviter des calculs barbants se révèle au final plus difficile à appréhender. La faute à qui? Aux profs qui habituent trop les élèves à résoudre les exercices de façon mécanique sans trop y réfléchir ou aux élèves qui ne prennent pas le temps de comprendre?

Ha mais carrément, hier j'ai fait l'astuce donnée pour me retrouver avec , puis j'ai cherché dans mon cours pour les racines => Je n'ai rien trouvé :/
Enfin si, j'ai trouvé 0 et -2i, mais le -2i je l'avais déjà trouvé grâce aux modules. C'était pour le reste que je ne voyais pas.

[nema]

Bon,j'ai juste oublié que dans une égalité on pouvait passer au conjugué. Ce n'est pas aussi grave que ça car,maintenant,grâce à vous, je ne l'oublierai plus jamais. Mais je crois que c'est la faute au système car les programme sont tellement chargés (je ne parle pas seulement des maths) qu'à peine a-t-on eu le temps d'assimiler un cours, on passe au suivant. Il faut dire que je ne suis pas française et donc je ne parle pas du système français (qui est bien meilleur que le nôtre je crois).