Exercice sur les fonctions.

[simon61]

Bonjour.
Je suis en TS et il y a un exercice qui me pose vraiment soucis.
Le voici :
Soit (Un) la suite définit par : UO = 400 000 et pour tout entier naturel n par : Un+1 = 1,05Un - 25 000

a) La suite (Un) est-elle arithmétique ? Géométrique ?
b)Pour tout entier naturel n on pose Vn = Un - 500 000
Démontrer que (Vn) est géométrique. En déduire l'expression de Vn puis de Un en foncion de n.
c) Résoudre le probléme suivant extrait d'une ouvrage d'Euler :
Un particulier doit 400 000 florins dont il est convenu de payer tous les ans l'intérêt a 5% ; il acquitte tous les ans 25 000 florins ; On demande aprés combien d'années sa dette sera entiérement éteinte.

Si quelqu'un pourrait m'explique comment faire, cela m'aiderais beaucoup.
Merci d'avance.

[Rebelle_]

Bonjour =)

On va commencer tranquillement. Comment vérifier si une suite est arithmétique ? Et géométrique ?
C'est le cours ;)

[simon61]

Une fonction arithmétique se définit par Un+1 = Un + r et une fonction géométrique par Un+1 = Un * q

Pour prouver qu'une suite est arithmétique on peut montrer que : Un+1 - Un est constant.


Pour prouver qu'une suite est géométrique on peut montrer que : Un+1/Un est constant.

[Rebelle_]

Oui c'est ça, sauf que ce sont des suites et non des fonctions (encore que, une suite est une application de N dans N mais bon...).

Sais-tu appliquer ton cours ou as-tu besoin d'aide pour cela ?

:)

[simon61]

Oui je m'étais trompé (important la précision en math^^)

Alors en faite en faisant Un+1 - Un je fais 1,05 * 400000 -25000 - 400000 et j'obtiens un résultat régatif (-5OOO).

Quand je fais Un+1/Un je fais 1,05 * 400000 -25000/ 400000 et j'obtien un résultat décimal (0,9875).

Est ce que j'ai bien utiliser la formule ? A partir de cela comment dire si la fonction est géomérique ou aritméthique ?

Merci beaucoup pour tes réponses ;)

[poulou]

Pour la 2) C'est que du cours donc normalement tu devrait comprendre (si c'est pas le cas tu me le dit et je t'explique)

Vn géométrique <=> Il existe un réel q tel que Vn+1 = qVn

Pour tous n appartenant à N,
Vn+1 = Un+1-500000
= 1.05Un-25000 - 500000 (tu remplace par tes valeurs)
= 1.05Un - 525000

Or Un= ??? et la tu continue si ta bien comprit :)

[simon61]

Désolé poulou mais je n'ais pas tout compris :s
(Un) est donc géométrique vu que (Vn) est géométrique ??

[poulou]

Le cours dit: Soit (Un) telle que Un+1 =aUn+b

(Un) définie par itération d'une fonction affine

Un+1 = f(Un)
Un est arithmético-géométrique

ATTENTION Cela ne marche pas dans tout les cas.
En effet si a=1 , (Un) est alors arithmétique

[poulou]

(Un) n'est donc pas forcément géométrique si (Vn) est géométrique!!

[Rebelle_]

Re =)

Toute suite arithmétique est de la forme u_n = a*n + b de raison a pour tout n et avec a et b réels : saurais-tu le démontrer ? ;)

Si tu étudies u_{n+1} / u_n n'oublie pas que la suite (u_n) doit être à valeurs strictement différentes de 0...

[simon61]

D'accord donc la suite est aritméthique mais je ne vois pas comment le montrer ... c'est bien énervant surtout que j'ai conscience que cette question est facile :s

[poulou]

Regarde mon post
Ta suite (Un) est arithmétique seulement si ton a=1
Est ce le cas?

[simon61]

Non c'est pas le cas ^^

[Rebelle_]

Regarde mon post
Ta suite (Un) est arithmétique seulement si ton a=1
Est ce le cas?

Il faudrait le démontrer pour l'utiliser...

[gigamesh]

Salut,
commence par utiliser la relation de récurrence pour calculer et .

Si la suite u est arithmétique alors on doit nécessairement avoir ; est-ce le cas ?

Si la suite est géométrique alors on doit nécessairement avoir (pour peu que et ne soient pas nuls); est-ce le cas ?

[simon61]

Merci beaucoup pour ta réponse ;)
Donc je trouve que la suite est géomérique. En effet si je fais U2/U1 = U1/U0 cela fait Pour :
U1/U0 : 395000/400000 = 0,99
U2/U1 : 1,05*395000-25000/ 395000 = 0,99

[simon61]

De même pour la question b) il faut prouver que la suite est géométrique. pour cela on fait V2/V1 = V1/V0
V2/V1 = -110250/-105000 = 1,05
V1/V0 = -105000/-100000 = 1,05
La suite Vn est donc bien géométrique.
Par conre comment faire pour écrire l'expression de Vn puis de Un en foncion de n ??

[gigamesh]

non, ça ne va pas.

D'abord, tu fais une erreur de raisonnement :
*si u est géo alors u2/u1=u1/u0
*mais la réciproque est fausse ;
il est nécessaire d'avoir u2/u1=u1/u0 pour que la suite u soit géométrique,
mais cela n'est pas suffisant !
Pour que u soit géo il faut et il suffit d'avoir u1/u0=u2/u1=u3/u2=...= =...

Comparer seulement u1/u0 avec u2/u1 permet de prouver qu'une suite n'est pas géométrique, mais ne permet pas de prouver qu'une suite est géométrique.

(Une petite mise en garde : je me suis placé dans le cas où la suite n'a aucun terme nul ; ça va lieux en le disant)

ensuite, tu as une erreur de calcul

u0=400000
u1=400000*1.05-25000=395000
u2=395000*1.05-25000=389750

u1/u0=395000/400000=0,9875
u2/u1=389750/395000=0,9867088607594......

Clairement, ce n'est pas le même nombre.
Tu as vu dans quel film qu'il fallait arrondir en maths ?


Par contre v est géométrique, mais il faut le prouver, ce que tu n'as pas encore fait...

[Dinozzo13]

Soit (Un) la suite définit par : UO = 400 000 et pour tout entier naturel n par : Un+1 = 1,05Un - 25 000

a) Calcule les trois premiers termes de la suite (u_n) et calcule :
, et montre que
, et montre que
b) Montre que est géométrique

[gigamesh]

Regarde mon post
Ta suite (Un) est arithmétique seulement si ton a=1
Est ce le cas?

Je te trouve bien affirmatif...
Essaie et ;
elle est pas arithmétique ? de raison zéro ?
Est-ce que 2=1 ?