Exercice sur les dérivés

[Anonyme]

Bonjour, j'ai un exercice sur les dérivés qui me pose problème.

a) Montrer que l'equation x^3/(1+x) = 1 admet une unique solution ds l'intervalle [1,2].

Ici, j'ai fait passé le 1 ds l'autre membre de l'équation, puis j'ai tout mis sur le même dénominateur :

je trouve (x^3 - x -1)/( 1 + x) est ce jai le droit de réduire à: x^3 - 1 ?

b) Donner une approchée à 10^-1 près par excès de cette solution.

Pourriez vous m'aider svp? Ce serait sympa... je vous remercie d'avance.

[becirj]

Bonjour
Puisque l'on travaille sur l'intervalle [1,2], le dénominateur ne s'annule pas donc la fraction est nulle si son numérateur est nul.
L'équation est donc équivalente à équation du troisième degré pour laquelle tu ne disposes pas de formule.
D'autre part le texte demande de montrer l'existence d'une solution et non de la calculer. Quand la question est posée ainsi, la manière de procéder est la suivante :
- étudier le sens de variation de la fonction (ici ) à l'aide de la dérivée.
- calculer les valeurs aux bornes (ici f(1) et f(2))
- appliquer le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédiaires)
A revoir éventuellement dans ton cours

Il existe des formules de résolution des équations de degré 3 mais hors de programme au Lycée

[Anonyme]

Comme tu l'as dit, j'ai calculé la dérivé f'(x) et je trouve : f '(x)= 3x²-1
mais je suis embeté, je ne vois comment factoriser, pr trouver la valeur intermédiaire...

D'autre part pr les valeurs bornes j'ai trouvé : en f(1)=-1 et f(2)=5

et je ne connais pas ce theoreme que tu me soumets... peux tu me l'enoncer?

merci d'avance

[becirj]

Sur l'intervalle [1,2], le premier facteur est strictement positif, la fonction dérivée a donc le signe de


On en déduit le sens de variation de la fonction. Sur l'intervalle [1,2], f'(x)>0, la fonction f est strictement croissante
f(1)0. Sur l'intervalle [1,2], f est dérivable, strictement croissante, elle établit une bijection de l'intervalle [1,2] sur l'intervalle [-1,5]. 0 appartient à l'intervalle [-1,5] donc il existe un nombre a de l'intervalle [1,2] tel que f(a)=0.
Pour déterminer une valeur approchée de a, il faut utiliser la calculatrice.

[Anonyme]

jsui dsl mé je compren tjr pas peu tu me rééxpliquer plus simplement.
toutefois je te remercie pour la factorisation.

[quinto]

jsui dsl mé je compren tjr pas peu tu me rééxpliquer plus simplement.
toutefois je te remercie pour la factorisation.

Bonjour,
merci de faire un effort d'écriture.

[becirj]

Bonsoir
Pour bien comprendre ce qui se passe, imagine le graphique sur l'intervalle [1,2] : on doit tracer une courbe qui part du point de coordonnées (1,-1), qui arrive au point de coordonnées (2,5) et qui ne peut que monter puisque la fonction est strictement croissante. Cette courbe va couper obligatoirement l'axe des abscisses une fois et une seule, l'abscisse du point d'intersection est la solution de l'équation
De la même manière pour tout nombre b compris entre -1 et 5, l'équation aurait une solution et une seule, ce qui se traduit mathématiquement par l'existence d'une bijection de l'intervalle [1,2] sur l'intervalle [-1,5].

[Anonyme]

re bonsoir

je suis désolé mais je comprend pas se que c'est une bijection je n'est jamais etudié cela.

[becirj]

Bonjour
Si tu n'as pas étudié les bijections, je pense que tu peux te contenter de l'explication que j'ai donnée à l'aide du graphique.