Exercice sur les dérivées

[kylexy]

Bonjour,

C'est la rentré ! On retrouve les super exercices de maths ! lol Je suis en terminale STI : les dérivées devraient être acquises, eh bien non...

Bref, j'ai un exercice sur lequel je bloque des la première question.

L'énoncé : Soit la fonction f définie sur l'intervalle [-6;6] par :
f(x) = 2(x² +6x + 9)/(x² + 3)

La question est : Etudier la fonction f.

Donc à partir de cela, je me suis lancé un peu tête baissée : j'ai cherché la dérivée pour ensuite pouvoir déterminer quand celle-ci s'annule, ainsi que son signe.

Mais voila, une fois dérivée : je me retrouve avec sa :
-12x² - 24x + 36/x^4 + 9 + 6x²

Donc dans ce cas, je sais pas comment il faut que je m'y prenne pour trouver les valeurs qui l'annule ! Et j'ai même l'impression d'avoir fait fausse route.

Je profite de ce sujet pour demander : "qu'est ce qu'ils attendent par cette question" ?

Merci.

[bobdu67]

premier conseil, lorsque tu a dérivé, ne jamais développer le dénominateur, sachant que la il est positifs, tu doit étudié seulement le numérateur

pour la dérivé, tu utilise f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'x))/v²(x)

pour le numérateur j'ai trouver 2x²-45x+6, mais sa veut pas dire que c'est juste !!! je te laisse revérifié sa...

en tout cas tu trouve un polynome, tu étudie se polynome (tableau de signe, signe de a en dehors des racines...)

ensuite tu n'a plus cas en déduire les variations de f

[uztop]

Bonjour,

Comme le dit bobdu67, ça ne sert à rien de développer le dénominateur qui est toujours positif.
Sinon, ta dérivée est juste, il ne reste plus qu'à calculer le discriminant pour savoir quand elle s'annule.
PS: tu aurais pu remarquer que (x² +6x + 9) = (x+3)² , ça aurait simplifié les calculs.

[kylexy]

Merci à tous les deux pour votre aide ! J'avais bien vu cette histoire de discriminant mais le dénominateur me gênait ! Mais apparemment : il ne faut pas s'en occuper. Je continue mon exercice et je vous re-dit sa.

[kylexy]

Ha, j'ai oublié, uztop : "PS: tu aurais pu remarquer que (x² +6x + 9) = (x+3)² , ça aurait simplifié les calculs."

Concernant cela, dans l'exercice c'était d'abord écrit avec "(x + 3)²" puis, ils avaient développé. J'ai donc écrit directement le développé.

Ma question est : en quoi cela aurait-il simplifié mes calculs ? On est obligé de développer non ?

[kylexy]

Bon alors, maintenant, j'ai une autre question : Étudier la position relative de la courbe (C) et de la droite D d'équation y = 2.

Sachant bien sur que la courbe C est définie par ma fonction précédente : f(x).

Qu'est ce que la position relative ? C'est la première fois que je voit sa et mon livre de math n'en parle pas du tout.

[uztop]

Pour le (x+3)², à mon avis ça simplifie parce que tu peux dire que
((x+3)²)' = 2(x+3) et tu obtiens facilement une forme factorisée au numérateur sans avoir besoin de calculer le discriminant.
Pour le dénominateur, il ne faut pas s'en occuper mais il faut quand même vérifier qu'il ne s'annule pas (pour l'ensemble de définition). Mais bon, dans le cas de cet exo, pas de pb.
La position relative, c'est simplement, la courbe est elle au dessus ou au dessous de la droite ?

[kylexy]

Ok.

Eh bien, la courbe est en dessous de la droite pour x €[-6;-1[ et elle est au dessus pour x €]-1;6], approximativement.

Donc en faite, il faut que je trouve pour qu'elle valeur de x, les deux courbe et droite se croisent puis je note ce que j'ai indiqué au dessus ?

Car, j'ai fait des recherches sur Internet, et des personnes parlent d'un tableau à faire !

[uztop]

non, c'est pas ça.
On te demande de résoudre exactement, et pas approximativement.
La courbe est au dessous de la droite si:
2(x² +6x + 9)/(x² + 3) < 2
Est ce que tu peux résoudre ça ?

[kylexy]

Alors je trouve : x > -0,5 ! Mais c'est pas possible !

[kylexy]

Je viens de me re-pencher sur l'exercice :
2(x² + 6x + 9)/x² + 3 < 2
2x² + 12x + 18 < 2x² + 6
12x + 18 < 6
12x < -12
x < -1

Lorsque x est plus petit que -1, la fonction est en dessous de la droite.

Est-ce correct ?

Merci.

PS: Hier, je ne trouvais pas ce résultat par ce que je n'avais pas tout développé (erreur d'étourderie que je ne trouvais pas !).

[Sa Majesté]

Oui c'est bon :++:
N'oublie pas de dire que x²+3 est toujours positif donc ça ne change pas le sens de l'inégalité

Pour la dérivée tu peux :
- soit dériver bestialement
- soit dériver en laissant x²+6x+9 sous la forme (x+3)², ce qui simplifie les calculs
- soit dériver après avoir simplifié : (x²+6x+9)/(x²+3)=1 + 6(x+1)/(x²+3), et tu n'as plus qu'à dériver (x+1)/(x²+3), ce qui est un peu plus simple

[kylexy]

Ok ! Merci à vous tous pour votre aide et vos conseils ! J'ai enfin fini mon exercice.