Exercice sur les complexes

[Minineutron]

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice, j'ai fais toutes les questions sauf celles en gras merci!
Dans tout ce problème, on note [TEX]j= e\frac{i2\pi}{3}= -1/2 +i\sqrt{3}[\TEX], le complexe solution de x²+x+1=0 et on rappelle que [TEX]\bar{j}[\TEX]=j².

1) Soient A et B deux points du plan d'affixes respectifs a et b. Soient p et q deux réels strictement positifs. Pour AB, montrer qu'il existe un unique point d'affixe z vérifiant [TEX]\frac{z-a}{b-z}=\frac{p}{q}[TEX], on l'appelle le (p:q) point de A à B. Donner son affixe ainsi qu'une interprétation géométrique.

2) Soit alpha appartenant à]0,+inf[, montrer que le (p:q) point de A à B et le (alphap:alphaq) point de A à B coïncident.

3) Caractériser le (1:1) point de A à B.

Merci bien, je serais dispo toute la soirée pour essayer de le faire avec votre aide!

A,B,C désignent 3 poitns distincts 2 à 2, on notera c l'affixe de C. On appelle (p:q) sous-triangle du triangle ABC, le triangle A'B'C' où A' est le (p:q) point de A à B d'affixe a', B' le (p:q) point de B à C d'affixe b' et C' le (p:q) point de X à A d'affixe c'. On note également A'' le (p:q) point de A à C d'affixe a''.

4) Prouver que la droite (A'A'') est parallèle à (BC). Comment est disposé le point A'' par rapport à C'?
5) Donner l'affixe de l'isobarycentre de A'B'C'. Que constate-t-on?

On va considérer une suite de triangles AkBkCk définie de la façon suivante: A0=A, B0=B, C0=C et Ak+1Bk+1Ck+1 est le (p:q) sous-triangle du triangle AkBkCk. On note pour k dans N, par ak, bk, ck les affixes respectifs des points Ak, Bk, Ck.

6) On note alphak= ak+bk+ck, Betak= ak+jbk+j²ck, gammak= ak+j²bk+jck. Prouver que les suites (alphak)k, (betak)k et (gammak)k sont géométriques de raison 1, a+j²p/p+q et q+jp/p+q respectivement.

7) Prouver que les 3 suites (|alphak|)k, (|betak|)k et (|gammak|)k sont convergentes et préciser leurs limites respectives. Interprétation géométrique?

8) Prouver que les triangles AkBkCk sont également équilatéraux.

9) Prouver que Ak+1Bk+1Ck+1 est l'image de AkBkCk par une similitude dont on précisera le centre et le rapport.

10) En déduire l'aire de AkBkCk en fonction de K et de l'aide de ABC.

11) Pour quelles valeurs du couple (p,q) la décroissance de l'aire de AkBkCk est-elle la plus rapide? Justifier la réponse.