Exercice sur les complexes

[Krys933]

Bonsoir à tous, je bloque sur une partie de cet exo, si vous pouviez m'éclairer s'il vous plait :

Pour tout complexe on considére f(z) = z^4 -10z^3+38z^2-90z+261

1) b est un reel, exprimer en focnton de b les partiees reelles et imaginaire de f(ib)

2) Endéduire que l'equation f(z)=0 admet deux solutions imaginaires purs.

3) démontrer qu'il existe deux nombres reels a et b que lon determinera tels que pour tout nombre complexe z , f(z)= (z²+9) (z²+az+b)

4) resoudre lequation f(z) =0


Je vous donne ce que j'ai réussi à faire :

1) f(ib) = (ib)^4 -10(ib)^3 +38(ib)² -90ib +261

Re(ib) = b^4 -38b²+261 et Im(ib) = 10b^3-90b

2) Im (ib) = 10b^3 -90b = b(10b^2-90) donc b [0 , 3 , -3] J'AI 3 SOLUTIONS :s J'aimerai savoir ou je me trompe

3) f(z) = (z²+9) (z²+az+b) = (z²+9)(z²-10z+29)

4) J'ai pensé à faire delta mais comme je me trompe dans la question 2 ^^

Merci de votre aide :d

[fonfon]

salut,

1) et 2)








Si on veut avoir f(ib) = 0, on doit avoir
et





b=0 ou b=-3 ou b=3

or b=0 ne convient pas car il ne satisfait pas

Par contre, b=-3 et b=3 conviennent car ils satisfont
Donc z = -3i et z = 3i sont solutions de f(z) = 0

[annick]

Bonjour,
pour trouver f(ib)=0, il faut que la partie réelle ET la partie imaginaire soient nulles. En résolvant le système obtenu, on a bien deux solutions imaginaires

[annick]

pour la 4), tu as un produit de facteurs. Pour que ce produit soit nul, il suffit que l'un des facteurs soit nul, donc tu résouds
(z²+9)=0 (identité remarquable (z²-9i²)=0)
(z²-10z+29)=0 en calculant delta...

[Krys933]

merci pour tout