Exercice Suite

[Born2SoaD]

Bonsoir à tous.
Dans un devoir il y a un exercice que je n'arrive pas à réaliser. Il s'agit d'établir une égalité par 2 méthodes différentes. Donc je fait appel à votre savoir :we:

1. Méthode 1
a. Donner la somme an des n premiers termes de la suite arithmétique des entiers naturels an = 1 + 2 + ... + n. (je pense que c'est n(n+1)/2 )
b. Avec un tableau ou une calculatrice programmable, calculer la valeur de Sn = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 pour n allant de 1 à 30. Calculer de même la valeur de an². Que constate-t-on? (Alors là je ne sais pas, doit-je mettre la formule précédente au cube?)
c. Conjecturer une formule donnant la valeur de Sn en fonction de n.
d. Démontrer cette conjecture sur n.

2.Méthode 2
On considère à nouveau la suite (an) définie sur N* par an = 1+2+...+n.
Le plan est muni d'un repère (O,i,j) (unité = 1cm)
Pour tout n appartient à N*, on considère les points An de l'axe des abscisses, d'abscisses an, les points Cn de l'axe des ordonnées, d'ordonnées an et les points Bn de coordonnées (an;an).
a. Faire une figure et placer les points An Bn et Cn jusqu'à n=5. (ça forme un carré de côté n)
b. Pour tout n> ou = à 1, calculer l'aire du carré OAnBnCn. En déduire que l'aire du polygone An-1AnBnCnCn-1Bn-1 est égale à n^3.
c. Prouver pour tout entier naturel non nul n, l'égalité (E):
1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)²

Le moindre petit coup de pouce est le bienvenue. :happy3:

[le_fabien]

pour la methode 1 on constate que 1^3+2^3+3^3.........+n^3=(n(n+1)/2)²
puis il faudra démontrer cette conjecture par recurrence

[le_fabien]

pour la méthode 2 on a l'aire de 0AnBnCn=(1+2+3+....+(n-1)+n)² car c'est un carré de côté 1+2+3+....+n
de même aire de 0An-1Bn-1Cn-1=(1+2+3+.....+(n-1))²
on en déduit que l'aire du polygone cherché est égal à 0AnBnCN - 0An-1Bn-1Cn-1=(1+2+....+n)²-(1+2+....+(n-1))²
puis en factorisant grace à une identité remarquable on a
[n(n+1)/2+(n-1)n/2]*[n]=n^3
tu termines en faisant l'addition des aires de tous les polygones et tu as ce que tu veux