Exercice Suite-Fonction.

[La Boule]

Bonjour a tous, étant en Terminale S j'ai eu la joie passagère de passer le bac blanc, et c'est précisement sur celui de mathématiques que j'aimerais vous interroger.

En effet un exercice mélangeant suite et fonction me pose problème. En voici l'énoncé :

Soit Un la suite définie pour tout n appartenant a N tel que
-U(n+1) = Un ² /(2Un+1)
-U0=2

1) Etudier les variations de la fonction f(x)= x²/(2x-1) ( définie sur ]0.5;plusl'infini[ )

Cette fonction est décroissante sur ]0.5,1] et croissante sur [1; plus l'infini [
et f(x)> ou égal a 1 et ceci est très important pour la suite de l'exercice.

2) En déduire ( des variations ) que :
Un>ou égal a 1

En raisonnant par recurrence c'est très facile mais voici la redaction que j'ai proposée.
Soit Pn : Un> 1
D'après 1 on sait que f(x)> 1 (pour tout x de [0.5;plus l'infini[ )
donc f(Un)> 1 or f(Un) = U(n+1)
donc U(n+1)> 1
et après je conclut comme quoi Un> 1;mais ai-je le droit de dire cela, que de par l'étude de la fonction la suite elle même est supérieure a 1. Voila mon plus gros pb.

n'aurais-je pas du mettre f(Un)>f(1) en constatant que f(1) = 1 et donc que U(n+1)> 1

Le résultat est le même cependant la redaction et les raisonnement sont-ils équivalents ? Y en a t-il un meilleur que l'autre ? Si oui lequel ? Merci d'avance et bonne soirée.

[La Boule]

Désolé pour le double post mais ce serait sympa qu'on me réponde merci. Je ne voudrais juste pas que mon sujet tombe dans l'oubli héhé.

[Dominique Lefebvre]

Désolé pour le double post mais ce serait sympa qu'on me réponde merci. Je ne voudrais juste pas que mon sujet tombe dans l'oubli héhé.

Bonsoir,
Dans ce cas, tu te contentes de faire un up...

[Sa Majesté]

Voici ce que je te propose :
Soit Pn : Un> 1
P0 est vraie car U0=2
Supposons Pn vraie (Un>1)
D'après le tableau de variations
f(Un)>1
Or f(Un)=U(n+1)
Donc U(n+1)>1
Donc P(n+1) est vraie

[La Boule]

Voici ce que je te propose :
Soit Pn : Un> 1
P0 est vraie car U0=2
Supposons Pn vraie (Un>1)
D'après le tableau de variations
f(Un)>1
Or f(Un)=U(n+1)
Donc U(n+1)>1
Donc P(n+1) est vraie

D'accord, merci beaucoup ça me rassure puisque c'est exactement la même rédaction que j'ai indiquée sur ma copie. La seule question que je me pose est si on a le droit de dire "d'après le tableau de variations que f(Un)>1 " ? Les variations d'une fonction peuvent-elles s'appliquer a celle d'une suite sans aucune étape ou raisonnement intermédiaires ? Sinon merci de ta réponse.

[Sa Majesté]

Un est un réel supérieur à 1
Le tableau de variations indique que pour tout réel supérieur à 1 son image par f est supérieure à 1

[La Boule]

Merci beaucoup, en fait c'est presque évident.