Exercice en spe TS

[Anonyme]

Bonjour j un exo un peu dur la.........

On considère l'équation (E) :

x^2-7y^2=1
où les inconnues x et y sont des entiers naturels non nuls.
Dans cette question, on suppose que le couple (a,b) est une solution de (E).
-Comparer a et b.
-Montrer que 1 est le seul diviseur positif commun à a et b.
-Démontrer que a congru 1 [7] ou a congru -1 [7]
-Trouver la solution (a ,b) de (E) telle que b soit le plus petit possible.





-Démontrer par récurrence sur nÎN*, qu'il existe un couple (an ,bn) d'entiers
naturels non nuls tel que :
(8+3Ö7 )n=an+bn Ö7 et (an ,bn) solution de (E)
-Combien l'équation (E) a-t-elle de solutions ?
Faire calculer par un tableur les couples (an ,bn) pour 1£ n£ 10.
A B C
1 n an bn
2 1 ... ...
3 2 = ? = ?
4 3 ·
·
· ·
·
·


Indiquer les formules à saisir dans les cellules B3 et C3.
On imprimera la feuille de calcul.

-Prouver que pour tout entier naturel n non nul,
(8-3 Ö7 )n=an-bn Ö7
-En déduire les expressions de an et bn en fonction de n.

Revenir en haut

[becirj]

Bonsoir
a et b étant positifs a>b
Le théorème de Bézout permet d'affirmer directement que et sont premiers entre eux donc a et b n'ont aucun facteur premier commun, leur seul diviseur positif commun est 1.
modulo7, donc et par conséquent a congrue à 1 ou -1 modulo7.
b=3, a=8

[Anonyme]

merci c tres gentil mais j'aimerais savoir comment tu trouves a=8,b=3

[becirj]

J'ai cherché à avoir a le plus petit possible.
Compte tenu des congruences, la plus petite valeur possible de a est 6 mais alors la valeur obtenue pour b n'est pas un entier?
Ensuite avec a=8, on obtient d'où b=3