Exercice de Spé Maths

[Peter/seconde]

Bonjour,
Je suis en train de faire un exercice de Spé maths mais je ne sais pas si ma réponse est juste, ou si il manque quelque chose :

Exercice :

Si n est un entier naturel tel que , on note :

Prouvez par récurrence que est divisible par

Je sais faire la récurrence mais je n'arrive pas à trouver une forme de sans les petits points;
Pour l'instant j'ai trouvé : mais je ne saurais même pas l'expliquer.

Je cherche juste un indice pour pouvoir mettre sous une forme qui pourrait m'aider pour faire la démonstration par récurrence ensuite.

Merci de votre temps.

[Ben314]

Salut,
Déjà, je te conseillerais fortement de commencer par regarder combien vallent A1,A2,A3,A4,A5 (au minimum) juste "pour comprendre comment ça marche".
Pour les "points de suspensions", si ça t'amuse, tu peut utiliser le symbole "consacré" qui permet d'écrire que .
C'est peut-être un peu plus joli et un peu plus court, mais ça ne change absolument rien et ça ne risque pas de t'aider à résoudre ton problème (au contraire, la lettre suplémentaire 'k' risque de t'embrouiller)
Pour la récurrence, l'amorce ne pose aucun soucis et, pour l'hérédité, il faut voir que la phrase " est divisible par " signifie qu'il existe un entier (dépendant de n) tel que . Partant de cette hypothèse, il faut que tu montre que pour un certain entier .

P.S.1 : Si tu regarde par exemple n=3, tu verra qu'on a pas .

P.S.2 : Pour montrer un tel résultat, la récurence n'est pas forcément le plus malin, mais vu que l'on t'impose la méthode...

[Ericovitchi]

une forme de An sans les petits points : mais bon je ne suis pas sûr que ça te serve.

Fais un raisonnement par récurrence classique. tu vérifies que c'et vrai pour n=1 ou 2
tu suppose que c'est vraie pour n (donc que An=k.2^n) et tu vérifies que c'est encore vrai pour n+1.

Pour ça tu formes An+1= (n+2)(n+2) ... 2n(2n+1)(2n+2)
tu fais apparaître An (en multipliant et divisant par (n+1)
An+1= An (2n+1)(2n+2) / (n+1) =k2^n (2n+1)(2n+2)/(n+1) = k 2^n.(2n+1)2=k(2n+1) 2^{n+1} donc c'est encore vrai

EDIT : grillé

[Peter/seconde]

Merci pour vos deux réponses, je pense qu'à partir de là je pourrais le finir sans problème. Je vous donnerais des nouvelles :)