bonjour a tous,
j'ai quelques difficultées a faire cet axercice de specialité... :mur: Pourriez vous me donner un coup de main s'il vous plait?
voici le sujet :
http://img62.imageshack.us/img62/1299/numriser00012kp.jpg
merci d'avance a tous. bye
Exercice spe math ts
4 messages
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par becirj » 12 Jan 2006, 13:41
Bonjour
1. Il faut faire une démonstration par récurrence.
2.a) On applique le résultat de la question 1.
}{2}\right)^2=k^2(2k+1)^2)
(2k+2)}{2}\right)^2=(2k+1)^2(k+1)^2)
=PGCD (k^2(2k+1)^2,(2k+1)^2(k+1)^2)=(2k+1)^2 PGCD(k^2,(k+1)^2))
car lorsque l'on multiplie deux nombres par le même entier, leur PGCD est multiplié par cet entier.
b) k et k+1 sont deux entiers consécutifs , leur PGCD est égal à 1 car :
(k+1)-k =1 (Théorème de Bézout)
c) D'après la proprièté donnée au début, de la question b), on déduit que :
^2)=1)
donc =(2k+1)^2)
.
3.a) Soit d un diviseur commun de (2k+1) et (2k+3). D divise la différence de ces deux nombres donc d divise 2. Par conséquent d=2 ou d=1.
Les nombres (2k+1) et (2k+3) sont impairs donc non divisibles par 2 ; leur PGCD est donc 1.
(2k+3)}{2}\right)^2=(k+1)^2(2k+3)^2)
=PGCD ((2k+1)^2(k+1)^2,(k+1)^2(2k+3)^2)=(k+1)^2 PGCD((2k+1)^2,(2k+3)^2)=(k+1)^2)
(Même justification que dans la partie 2 en utilisant le résultat de 3.a)
4. Compte tenu des résultats précédents, le PGCD ne peut être égal à 1 que lorsque k=0 et n=2k+1=1.
1. Il faut faire une démonstration par récurrence.
2.a) On applique le résultat de la question 1.
car lorsque l'on multiplie deux nombres par le même entier, leur PGCD est multiplié par cet entier.
b) k et k+1 sont deux entiers consécutifs , leur PGCD est égal à 1 car :
(k+1)-k =1 (Théorème de Bézout)
c) D'après la proprièté donnée au début, de la question b), on déduit que :
3.a) Soit d un diviseur commun de (2k+1) et (2k+3). D divise la différence de ces deux nombres donc d divise 2. Par conséquent d=2 ou d=1.
Les nombres (2k+1) et (2k+3) sont impairs donc non divisibles par 2 ; leur PGCD est donc 1.
(Même justification que dans la partie 2 en utilisant le résultat de 3.a)
4. Compte tenu des résultats précédents, le PGCD ne peut être égal à 1 que lorsque k=0 et n=2k+1=1.
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