Exercice d'optimisation

[HERCOLUBUS]

Soit cette situation:

Le curé d'une paroisse rurale désire reconstruire son église détruite par le feu en y insérant plusieurs
vitraux ayant tous la forme d'un rectangle surmonté d'un demi-cercle. Le périmètre total de chaque
vitrail peut être variable ; disons qu'il doit être de P mètres. Trouvez le rayon du demi-cercle,
en fonction de P, qui maximiserait l'aire de tous les vitraux de telle sorte que la quantité de lumière passant à travers eux soit la plus grande possible. Pour la solution du problème, considérez P comme une valeur fixe évidemment positive. :help:

[el niala]

appelle R le rayon du demi-cercle, déduis-en la "hauteur" du rectangle (fonction de P et de R), calcule l'aire du vitrail et pense à la dérivée...

[HERCOLUBUS]

appelle R le rayon du demi-cercle, déduis-en la "hauteur" du rectangle (fonction de P et de R), calcule l'aire du vitrail et pense à la dérivée...

P= r-h ?


Donc j'ai l'aire de ce rectangle surmonté d'un demi-cercle à optimiser ! Voici la mathématisation du problème selon moi :




Devrais-je isoler h dans la formule du périmètre? ce qui me donnerait :



mais la hauteur aurait une valeur négative, ce qui est

À l'aide ! :help:

[antonyme]

Salut,
Avant tout il me semble que tu a omis 2r dans ton périmètre.(En faite non :hum: )
Ensuite lorsque j'isole h j'obtient :
Ainsi, en partant de la formule de l'aire que tu à trouvé et en remplaçant h on à :

Pour le max je te laisse chercher, dis moi si tu à besoin d'aide.

[HERCOLUBUS]

Salut,
Avant tout il me semble que tu a omis 2r dans ton périmètre.
Ensuite lorsque j'isole h j'obtient :
Ainsi, en partant de la formule de l'aire que tu à trouvé et en remplaçant h on à :

Pour le max je te laisse chercher, dis moi si tu à besoin d'aide.

Omis un 2r ?

Voici une illustration du vitrail:


Le périmètre d'un cercle est sa circonférence, évidemment, et a la formule c = 2 x pi x r. Ici on n'a la moitié d'un cercle, c'est pourquoi j'ai divisé par 2 la valeur de la circonférence.

Ça me donne une formule de périmètre suivante : P = 2r+2h+PI x r

Par la suite, je me retrouve avec une formule d'aire avec 2 variables inconnues, le rayon, et le périmètre...... que dois-je faire rendu à ce stade ?!?


Merci du coup de main ! :we:

[antonyme]

Omis un 2r ?

Voici une illustration du vitrail:


Le périmètre d'un cercle est sa circonférence, évidemment, et a la formule c = 2 x pi x r. Ici on n'a la moitié d'un cercle, c'est pourquoi j'ai divisé par 2 la valeur de la circonférence.

Ça me donne une formule de périmètre suivante : P = 2r+2h+PI x r

Par la suite, je me retrouve avec une formule d'aire avec d'un variable inconnues, le rayon, et le périmètre...... que dois-je faire rendu à ce stade ?!?


Merci du coup de main ! :we:

Tu as raison je m'étais lancé dans un deuxième tour du vitrail :marteau: (j'ai édité)
Pour trouver le max, il faut trouver à quel moment la dérivée s'annule. Bien entendu tu le trouvera en fonction de la valeur de P car, comme le dit l'énoncé, il faut : "considérez P comme une valeur fixe"

[HERCOLUBUS]

Tu as raison je m'étais lancé dans un deuxième tour du vitrail :marteau: (j'ai édité)
Pour trouver le max, il faut trouver à quel moment la dérivée s'annule. Bien entendu tu le trouvera en fonction de la valeur de P car, comme le dit l'énoncé, il faut : "considérez P comme une valeur fixe"

Je suis confus! :hein:
Une fois avoir remplacé h dans la formule de l'aire, j'arrive à une fonction avec deux variables inconnues !
Et pour la dériver je me mêle facilement...

J'aimerais un coup de pouce pour obtenir la bonne formule de l'aire.
On peut isoler soit r soit h dans la formule du périmètre.
Étant donné qu'on doit trouver le rayon idéal pour une aire la plus grande possible, ne devrait-on pas isoler r en priorité ?

Ensuite, je pourrai tenter le coup de calculer la dérivée de cette nouvelle fonction !

Si vous vous sentez généreux, permettez-vous de calculer cette dernière... je l'analyserai par la suite pour trouver ses points critiques ! :we:

[antonyme]

Je suis confus! :hein:
Une fois avoir remplacé h dans la formule de l'aire, j'arrive à une fonction avec deux variables inconnues !
Et pour la dériver je me mêle facilement...

J'aimerais un coup de pouce pour obtenir la bonne formule de l'aire.
On peut isoler soit r soit h dans la formule du périmètre.
Étant donné qu'on doit trouver le rayon idéal pour une aire la plus grande possible, ne devrait-on pas isoler r en priorité ?

Ensuite, je pourrai tenter le coup de calculer la dérivée de cette nouvelle fonction !

Si vous vous sentez généreux, permettez-vous de calculer cette dernière... je l'analyserai par la suite pour trouver ses points critiques ! :we:

Il faut bien distinguer "variable" et "paramètre"
En faite ici on étudie les variations l'aire en fonction du rayon ce qui donne la fonction
d'où la différence entre r qui est la variable de la fonction (que l'on appelle le plus souvent x même si ce n'est pas une obligation) et P qui est un paramètre, c'est à dire qu'il faut le considérer comme une constante lorsque tu dérive.

Voici un exemple qui n'a aucun rapport avec l'exo mais qui te donnera la méthode :
soit avec C une constante.

[HERCOLUBUS]

Soit cette situation:

Le curé d'une paroisse rurale désire reconstruire son église détruite par le feu en y insérant plusieurs
vitraux ayant tous la forme d'un rectangle surmonté d'un demi-cercle. Le périmètre total de chaque
vitrail peut être variable ; disons qu'il doit être de P mètres. Trouvez le rayon du demi-cercle,
en fonction de P, qui maximiserait l'aire de tous les vitraux de telle sorte que la quantité de lumière passant à travers eux soit la plus grande possible. Pour la solution du problème, considérez P comme une valeur fixe évidemment positive. :help:

Trouvez le rayon du demi-cercle, en fonction de P ????? :marteau: :mur:
Comment ?? :hum:


Voici ma démarche jusqu'à maintenant:

Donc, j'ai A(r,h), la formule de l'aire à optimiser :



P(r,h), la formule du périmètre:



Lorsque j'isole h à partir de la formule du périmètre j'obtiens:



Ce qui donne ceci une fois h remplacé dans la formule A(r,h):



Qui après simplification me donne :




À partir de laquelle je trouve A'(r):




Aidez-moi ! :hein:

[chan79]

donc r=

[antonyme]

Juste pour préciser la réponse de chan79. Tu a tout bien fais jusqu'ici et tu n'a plus qu'a trouver le signe de la dérivé en fonction de r.
Tu remarque d'abord que la dérivé s'annule en et qu'elle est négative avant cette valeur et positive après. Ceci te permet de conclure sur la valeur du max en fonction du périmètre du vitraille :lol3:

[HERCOLUBUS]

Juste pour préciser la réponse de chan79. Tu a tout bien fais jusqu'ici et tu n'a plus qu'a trouver le signe de la dérivé en fonction de r.
Tu remarque d'abord que la dérivé s'annule en et qu'elle est négative avant cette valeur et positive après. Ceci te permet de conclure sur la valeur du max en fonction du périmètre du vitraille :lol3:

Donc, le rayon du demi-cercle en fonction de P qui maximiserait l'aire de tous les vitraux est:

..... tout simplement ??? :doh: :we:

[antonyme]

C'est ça, et maintenant le curé peu reconstruire sont église grâce à toi :++:

[HERCOLUBUS]

C'est ça, et maintenant le curé peu reconstruire sont église grâce à toi :++:

AAAAAH YEAAAAAAHHH ! :zen: