Bonjour, j'ai cherché à faire un exercice de maths et j'aimerais savoir si ce que j'ai fait convient, merci ! D'abord voilà le sujet ^^:
Dans tout l'exercice, n désigne une entier naturel non nul.
1.a) Pour
, calculer les restes de la division euclidienne de
par 7.
b) Démontrer que, pour tout n,
est divisible par 7.
c) En déduire que
et
ont le même reste dans la division par 7.
d) A l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de
par 7.
e) De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de
par 7, pour n quelconque ?
2. Soit
où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
a) Montrer que si
est divisible par 7, alors
est divisible par 7.
b) Réciproquement, montrer que si
est divisible par 7, alors
est divisible par 7.
c) En déduire les valeurs de n telles que
soit divisible par 7.
Voilà ce que j'ai fais :
1.a)
. J'étudie le reste de la division euclidienne de 3^n par 7 pour
:
si n=1 alors
, donc le reste vaut 3.
si n=2 alors
, donc le reste vaut 2.
si n=3 alors
, donc le reste vaut 6.
si n=4 alors
, donc le reste vaut 4.
si n=5 alors
, donc le reste vaut 5.
si n=6 alors
, donc le reste vaut 1.
b)
:
-3^n [7])
. Or on vu que
donc
-3^n\equiv0 [7])
. D'où
est divisible par 7.
c) on sait que
donc
. Or on a calculé les restes de
dans a) donc les restes de
sont les mêmes.
d) 1000=6x166+4 donc
tel que
.
Ainsi
.
Donc le reste vaut 4.
e) A partir de ce qui a été fait :
tel que :
.
.
.
.
.
.
2.
avec
et
.
a) Si
est divisible par 7 alors
donc que
,
d'où
.
b) là je ne vois pas comment faire :triste:
c) Là je cherche n tel que
:
équivaut à
, or on a vu dans 1.e) que
avec
est la seul puissance de 3 a avoir 1 comme reste, ou autrement dit que
, donc n est de la forme 6k donc :
S={6k |
}.
Voilà ^^, bonne lecture ^^.
