Exércice de math sur les complexes

[zunbiker]

Bonjour, voila j'ai un éxércice de math à fair mais je bloque complétement avec les complexes. Si quelqu'un peut m'aider, sa serait super simpa, merci.

Dans la figure ci-contre, ABCD est un carré de sens direct et les triangles ABE et ADF sont équilatéraux.
On se propose de démontrer que les points C ,E et F sont alignés.

http://gabgab62.free.fr/figure.bmp



On prend le côté du carré comme unité de longueur on considère le repère orthonormé (A ; vécteur AB ;vécteur AD)

a) Déterminez les affixes des points A, B , C et D dans le plan complexe rapporté à ce repère.

b) Donner l’écriture complexe de la rotation de centre A et d’angle + pi/3 et en déduire les affixes des points E et F.

c) Conclure (plusieurs démarches sont possibles)


Merci d'avance.

[le_fabien]

en considerant la rotation de centre A et d'angle pi/3
on zE-zA=e^(i*pi/3)(zB-zA) et zF-zA=e^(i*pi/3)(zD-zA)
où zA=0
zB=1
zD=i et zC=1+i
et e^(i*pi/3)=1/2+i*(V3)/2
avec cela tu trouves les affixes de E et F
puis pour montrer que les points C,E et D sont alignés il suffit de montrer que le rapport (zC-zE)/(zC-zF) est un réel.

[zunbiker]

Tout d'abord, merci de votre réponse, mais j'ai une derniere question à vous poser, comment on peut déterminer l'affixe de A, B, C et D ? car je ne sais pas comment mis prendre car c'est une figure et pas un repére :( et j'ai du mal à saisir votre démarche..

[le_fabien]

et bien on a le repère (A;AB;AD) alors par définition on a a l'origine du repere donc A(0;0) et B(1;0) donc zB=1+0i=1 et C(1;1) donc zC=1+1i=1+i
et puis D(0;1) donc zD=0+i=i

[zunbiker]

a éxcusé moi je me suis embrouillé, je voulez-vous demander comment à partir de l'éxponentielle on arrivé à montrer les affixes des points E et F..

[le_fabien]

zA=0 et zB=1 donc zE=(1/2+iV3/2)*1=1/2+iV3/2
zD=i donc zF=(1/2+iV3/2)*i=-V3/2+i/2

[zunbiker]

a d'accord, j'ai compris maintenant, meci de votre réponse précieuse.